Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Новиков А.И - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

68
Определение 2. Векторы
n21
a,...,a,a
называются линейно
зависимыми, если существуют такие числа
n21
,...,,
, из ко-
торых хотя бы одно отлично от нуля, и справедливо равенство:
0a...aa
nn2211
. (2.1)
Векторы
n21
a,...,a,a
называются линейно независимыми,
если равенство (2.1) выполняется только тогда, когда все числа
n21
,...,,
равны нулю.
Утверждение 1. Необходимым и достаточным условием
линейной зависимости векторов является возможность пред-
ставления хотя бы одного из них в виде линейной комбинации
других.
Доказательство. Необходимость. Дано: векторы
n21
a,...,a,a
линейно зависимы, т.е. существуют числа
n21
,...,,
, не все равные нулю одновременно, и такие, что
выполнено (2.1).
Пусть
0
1
. Умножим обе части векторного равенства
(2.1) на
1
1
:
n
1
n
3
1
3
2
1
2
1n
1
n
2
1
2
1
a...aaa0a...aa
.
Вектор
1
a
представлен в виде линейной комбинации других
векторов.
Достаточность. Дано: хотя бы один из векторов
n21
a,...,a,a
является линейной комбинацией других. Пусть им
будет вектор
1
a
:
.

Страницы