ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
69
Требуется доказать, что векторы
n21
a,...,a,a
линейно зависи-
мы. Перепишем последнее векторное равенство в следующем
виде:
0a...aaa1
n1n32211
.
Полагая
1nn121
,...,;1
, заключаем с учетом
определения 2, что векторы
n21
a,...,a,a
линейно зависимы. ■
Следствие 1. Любые два ненулевых вектора коллинеар-
ны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.
Действительно, коллинеарность любых векторов
1
a
и
0b,ab
равносильна (п. 2.2) существованию числа
такого,
что
ba
.
Следствие 2. Любые три вектора на плоскости линейно за-
висимы.
Доказательство. Возьмем на плос-
кости любые векторы
c,b,a
. Если сре-
ди них есть нулевой вектор, например
0a
, то
0c0b001
и ли-
нейная зависимость вытекает из опре-
деления. Если
b,a
коллинеарны, то
существует число
ba:
и линейная зависимость вытека-
ет из утверждения 1. В оставшемся случае неколлинеарных век-
торов
b,a
вектор
c
всегда можно представить в виде линейной
комбинации
bac
(рис. 2.12), и линейная зависимость
c,b,a
также вытекает из утверждения 1.
Аналогично можно получить:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
