ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 9
Края соленоида с квадратным сечением соединили образовав кольцо с
внутренним радиусом R = 10 см (рис. 6.1). Сторона квадратного сечения соле-
ноида а = 10 см. Определить энергию магнитного поля, запасенную внутри со-
леноида, если его обмотка имеет N = 1000 витков и по ней течет ток силой I
= 10 А. Считать, что каркас соленоида изготовлен из материала с магнитной
проницаемостью
μ
= 1.
dV
a
dr r
Рис. 6.1. Рис. 6.2.
Решение
Величину магнитной индукции внутри соленоида определим с помощью
теоремы о циркуляции (3.4). С этой целью выберем контур
L в виде окружно-
сти, проходящей внутри соленоида (
R < r < R + а). Центр окружности находится
на оси кольца. В этом случае теорему о циркуляции вектора
B
r
(3.4) можно за-
писать в виде
ο
2πμ
B
rNI
⋅
= .
Следовательно магнитное поле внутри соленоида зависит от расстояния до
оси кольца
r по закону
ο
μ
2π
NI
B
r
= .
Запасенную энергию определим интегрированием плотности энергии магнит-
ного поля (6.4) по объему соленоида V. При этом элементарный объем dV вы-
берем в виде кольцевого слоя прямоугольного сечения толщиной
dr и высотой
а (рис. 6.2) : dV = 2πr
.
a
.
dr. Тогда
2222
ο
22
ο
ο
22
ο
μ
2π 2π
2μ
4π 2μ
μ
ln .
4π
Ra Ra
B
RR
NI
B
W radr radr
r
Ra
NIa
R
++
=
⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅=
+
⎛⎞
=⋅ ⋅
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
Подставив значения величин и произведя вычисления, получим:
73221
10 Гн/м 10 10 А 10 м ln 2 0,7 мДж.
B
W
−−
=⋅⋅⋅≈
Пример 9
Края соленоида с квадратным сечением соединили образовав кольцо с
внутренним радиусом R = 10 см (рис. 6.1). Сторона квадратного сечения соле-
ноида а = 10 см. Определить энергию магнитного поля, запасенную внутри со-
леноида, если его обмотка имеет N = 1000 витков и по ней течет ток силой I
= 10 А. Считать, что каркас соленоида изготовлен из материала с магнитной
проницаемостью μ = 1.
dV
a
dr r
Рис. 6.1. Рис. 6.2.
Решение
Величину магнитной индукции внутри соленоида определим с помощью
теоремы о циркуляции (3.4). С этой целью выберем контур L в виде окружно-
сти, проходящей внутри соленоида (R < r < R + а). Центр окружности r находится
на оси кольца. В этом случае теорему о циркуляции вектора B (3.4) можно за-
писать в виде
B ⋅ 2πr = μ ο NI .
Следовательно магнитное поле внутри соленоида зависит от расстояния до
оси кольца r по закону
μ NI
B= ο .
2πr
Запасенную энергию определим интегрированием плотности энергии магнит-
ного поля (6.4) по объему соленоида V. При этом элементарный объем dV вы-
берем в виде кольцевого слоя прямоугольного сечения толщиной dr и высотой
а (рис. 6.2) : dV = 2πr.a.dr. Тогда
R+a R+a
B2 μ ο2 N 2 I 2
WB = ∫ ⋅ 2πr ⋅ a ⋅ dr = ∫ 2 2
⋅ 2πr ⋅ a ⋅ dr =
R
2μ ο R
4π r 2μ ο
μο ⎛ R+a⎞
=⋅ N 2 I 2 a ⋅ ln ⎜ ⎟.
4π ⎝ R ⎠
Подставив значения величин и произведя вычисления, получим:
WB = 10−7 Гн/м ⋅ 103 ⋅ 102 А 2 ⋅ 10−1 м ln 2 ≈ 0,7 мДж.
