Механика материальной точки. Новиков С.М. - 16 стр.

где V0 = 10 м/с — скорость лодки в начале торможения, τ0 = 10 с — характер-
ный временной параметр движения. За какое время скорость лодки уменьшится
в два раза и какое расстояние при этом будет пройдено?

                                  Решение
    Эта задача является обратной по отношению к предыдущей, т.е. по схеме
на рис. 1.2 необходимо двигаться в противоположном направлении (справа на-
лево).
    Выберем положительное направление оси OX вдоль движения лодки, а за
начало координат примем точку, в которой произвели выключение двигателей.
Закон изменения скорости определим по формуле (1.5)
                                               V0 ⋅ τ 0                   V0 ⋅ τ 0
                 Vx = ∫ ax ⋅ dt + C1 = − ∫                   dt + C1 =             +C .
                                              ( t + τ0 )
                                                           2
                                                                         ( t + τ0 ) 1
     Подставляя в это выражение начальное условие Vx(t=0) = V0, определим
значение константы С1. Получается равенство V0 = V0+C1 и следствие из него
С1 = 0. Таким образом, закон изменения скорости приобретает вид
                                   V ⋅τ            V0
                              Vx = 0 0 =                   .
                                  ( t + τ0 ) ( t / τ0 + 1)
    График этого закона приведен на рис 1.6. Он имеет вид гиперболы со сме-
щенной осью ординат. Время t2 уменьшения скорости в два раза определим из
равенства
                                V0       V0
                                   =               .
                                 2 ( t2 / τ 0 + 1)

     Сократив на V0 , получаем t2/τ0 + 1 = 2 или t2= τ0. Таким образом, харак-
терный параметр τ0 в данной задаче равен времени двукратного уменьшения
скорости. Заметим некоторую парадоксальность полученного результата, за-
ключающуюся в том, что скорость стремится к нулю асимптотически, т.е. лодка
остановится только при бесконечном времени. Поэтому в условии задачи ого-
ворено ограничение времени первыми 15-ю секундами. Дело в том, что приве-
денный в условии задачи закон изменения ускорения определен опытным (эм-
пирическим) путем и справедлив только для определенного диапазона скоро-
стей. При малых скоростях необходимо использовать другие формулы. Чтобы
определить пройденное расстояние, необходимо получить закон движения под-
водной лодки по формуле (1.6):
                                          V0
             x = ∫ Vx ⋅ dt + C2 = ∫              dt + C2 = V0 ⋅ τ 0 ln ( t / τ 0 + 1) + C2 ,
                                      t / τ0 + 1