Механика материальной точки. Новиков С.М. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Введем безразмерную переменную, обозначив
α
1
x
T
VU
F
⎛⎞
−
=
⎜⎟
⎝⎠
. Тогда
α
T
x
F
dV dU=− и уравнение принимает вид
1 α
dU dt
Um
=− .
Проинтегрировав обе части этого уравнения, получаем
1
α
lnUtC
m
=
−+.
После обратной замены переменной это уравнения приобретает вид
1
αα
ln 1
X
T
VtC
Fm
⎛⎞
−
=− +
⎜⎟
⎝⎠
.
Для определения постоянной интегрирования используем начальное усло-
вие
V(t=0) = 0. Тогда C
1
= 0. Подставив это значение постоянной в найден-
ное решение уравнения, и сделав преобразования, получаем
αα
ln 1
X
T
V
t
Fm
⎛⎞
⋅
−=−
⎜⎟
⎝⎠
.
По определению логарифмической функции это выражение можно пред-
ставить в виде
α
α
1
t
X
m
T
V
e
F
−
⋅
−= или
α
1
α
t
T
m
X
F
Ve
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
V
X
V
MAX
V
0
0 t
0
t
Как всегда при решении задачи
полученный ответ необходимо осмыс-
лить и сделать правильные выводы. С
этой целью построим график зависи-
мости скорости от времени (рис.4.2).
Из него следует, что скорость самолета
с увеличением времени асимптотиче-
ски стремится к предельному значе-
нию V
MAX
=F
T
/α = 200 м/с = 720 км/ч. 
                                                 ⎛    α ⎞
    Введем безразмерную переменную, обозначив ⎜1 − Vx ⎟ = U . Тогда
                                                 ⎝ FT ⎠
           F                                    1        α
    dVx = − T dU и уравнение принимает вид         dU = − dt .
            α                                   U        m
    Проинтегрировав обе части этого уравнения, получаем
                                         α
                               lnU = −     t + C1 .
                                         m
    После обратной замены переменной это уравнения приобретает вид
                              ⎛   α   ⎞    α
                           ln ⎜1 − VX ⎟ = − t + C1 .
                              ⎝ FT    ⎠    m
     Для определения постоянной интегрирования используем начальное усло-
вие V(t=0) = 0. Тогда C1 = 0. Подставив это значение постоянной в найден-
ное решение уравнения, и сделав преобразования, получаем
                                ⎛ α ⋅ VX   ⎞  α
                             ln ⎜1 −       ⎟=− t.
                                ⎝    FT    ⎠  m
    По определению логарифмической функции это выражение можно пред-
ставить в виде

                      α ⋅ VX
                               α
                                − t             F     ⎛     − t⎞
                                                             α
                   1−        = e m или      VX = T    ⎜1 − e ⎟ .
                                                             m
                        FT                       α    ⎜        ⎟
                                                      ⎝        ⎠




    VX                                      Как всегда при решении задачи
                                       полученный ответ необходимо осмыс-
                                       лить и сделать правильные выводы. С
  VMAX                                 этой целью построим график зависи-
                                       мости скорости от времени (рис.4.2).
                                       Из него следует, что скорость самолета
    V0
                                       с увеличением времени асимптотиче-
                                       ски стремится к предельному значе-
      0     t0                     t   нию VMAX=FT /α = 200 м/с = 720 км/ч.

Страницы