Основы метрологии. Новиков Г.А. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

140
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины
X
. Поскольку
()
aXM
i
= , то согласно (3.50):
()
()
aa
n
XM
n
XM
n
i
n
i
i
===
∑∑
== 11
11
. (4.10)
Таким образом,
X
– несмещенная точечная оценка a (см. (4.7)).
Так как
()
2
σ
=
i
XD , то в соответствии с (3.55) и свойствами матема-
тического ожидания дисперсия равна:
() ()()
[]
()
()
[]
()
n
n
n
XD
n
aXM
n
aXM
n
naX
n
M
aX
n
MXMXMXD
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
11
11
1
σσ
===−=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−=
∑∑
∑∑
∑
==
==
=
. (4.11)
Поэтому при
∞→n
()
0→XD или a
X
→ , т.е.
X
является состоятельной
точечной оценкой a (см. (4.6)).
Из (4.11) следует также, что дисперсия среднего арифметического ре-
зультатов наблюдений ФВ X в n раз меньше дисперсии результата отдель-
ного наблюдения. Поэтому измерения с многократными наблюдениями и
последующим усреднением результатов – эффективный способ уменьше-
ния влияния случайной погрешности на результат измерения. Именно та-
кой подход
используется при рандомизации, когда систематическая по-
грешность переводится в случайную (п. 3.4). Систематическая погреш-
ность от прибора к прибору изменяется случайным образом, т.е. является
случайной величиной, характеризуемой нормальным распределением.
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины Ω
2
. Математическое ожидание равно:
()
()
[
]
∑
=
−=Ω
n
i
i
XXM
n
M
1
2
2
1
. (4.12)
Рассмотрим отдельно
()
(
)
2
XXM
i
− . Получим:

Страницы