Нелинейное программирование. Нурминский Е.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из оптимальности следует, что
(5)
для всех , причем при .
Разделив неравенство (5) на и устремив к так, чтобы ,
получим .
1.1.2 Достаточные условия экстремума
Легко видеть, что обращение теоремы 1 неверно: функция в нуле
имеет нулевую производную, однако точка не является ни минимум-
ом, ни максимумом . Условия, гарантирующие оптимальность некото-
рой точки, называются достаточными условиями экстремума.
Теорема 3 Если в точке выполнены условия:
1. ,
2. Матрица вторых производных положительно определена,
то точка является изолированой точкой локального минимума.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положительная определенность означает,
что для . Обозначим
В силу замкнутости и ограниченности единичной сферы
, а также в силу непрерывности квадратичной фуннкции как
функции величина .
Положим и оценим
где при . Отсюда следует, что
с для достаточно малых . Другими словами, существует
такое, что для всех выполняется неравенство
и, следовательно, является изолированой точкой локального минимума.
4
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из оптимальности                                               :   следует, что
                                         *
                                : #  : ';  :
                                        - ' > >  :  9                                           1                             (5)

для всех , причем 9     
                               
                                 % при % .          &                   &                                           + & 5
                                   и устремив к % так, чтобы 
          > >   5
                 @: L %
   Разделив неравенство (5) на
получим                 .            56                                                                                                    ,


1.1.2          Достаточные условия экстремума
                                                                                                                <
Легко видеть, что обращение теоремы 1 неверно: функция           в нуле
                                                                                         %
имеет нулевую производную, однако точка
ом, ни максимумом                          
                                               не является ни минимум-
                       . Условия, гарантирующие оптимальность некото-
рой точки, называются достаточными условиями экстремума.
Теорема 3 Если в точке                                :   выполнены условия:
      1.    >  :L;<% ,
      2. Матрица вторых производных                                   > > @:L        положительно определена,
то точка                  :    является изолированой точкой локального минимума.


                          5                5
                                                                                                                > >  @:L
       5    > >  @:L           %             <%
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положительная определенность
что                для       . Обозначим
                                                                                                                             означает,


                                                                         5
                                                              > >  :        5
                                                                                                                   > > 5  :  5  
                                                                                                                  5 5 как
                     + 5 5
*L2
В силу замкнутости и ограниченности единичной сферы

функции величина      5
                    :   
                    <    .       %
  , а также в силу непрерывности квадратичной фуннкции



                                                                                   5                      
   Положим                   и оценим

                              5
                  < :  ;  :   > >  : 9 W5                                 5
где 9     & 4&
                    % при  % . Отсюда следует, что
                       5 5  
        :W    > > @:L 9          @:   9 6                                       6
                                
                              :W  L-   @:L  >                       
с >                   3*!   ,
         % для достаточно малых  % . Другими словами, существует  %
                               5 :         #  выполняется неравенство
                                                                                                                                      
такое, что для всех %

                           6
                                 :  >  :            :             
и, следовательно, : является изолированой точкой локального минимума.




                                                                     4

Страницы