Нелинейное программирование. Нурминский Е.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1.2 Oптимум с ограничениями
Как бы не знаменит результат теоремы 1 не был, он имеет весьма огран-
иченную практическую ценность. Оптимизационные задачи, возникающие
на практике, имеют, как правило, нетривиальные ограничения, а теорема
1 в этом случае неприменима. Дальнейший прогресс в этой области был
достигнут другим гигантом математической мысли: Ж. Лагранжем. Для
решения условных экстремальных задач с нелинейными ограничениями-
равенствами
(6)
им была введена функция
названная в его честь функцией Лагранжа. Эта функция содержит дополн-
ительные переменные , которые называют множителями
Лагранжа. Условия оптимальности для задач вида (6) формулируются в
виде условий на функцию Лагранжа.
2
Пожалуй проще всего эти условия оптимальности доказываются с пом-
ощью теоремы о неявной функции, которую мы в связи с этим приведем в
подходящей формулировке.
Теорема 4 Пусть — дифференцируемая вектор-функция, которая
отображает -мерное пространство в -мерное пространство и в
точке , такой, что
(7)
якобиан
этого преобразования невырожден.
Тогда из существования решения уравнения (7) следует существование
решения у уравнения
(8)
для всех достаточно малых , причем решение уравнения (8) неп-
рерывно зависит от в точке .
2
Функцию Лагранжа записывают иногда в больее общем виде как
Это связано с тем, что в определенных вырожденных ситуациях множитель Лагранжа
может быть равен нулю. Если он не равен нулю, что чаще всего и бывает, то функцию
Лагранжа можно отнормировать так, что коэффициент при будет равен единице.
5
1.2       Oптимум с ограничениями
Как бы не знаменит результат теоремы 1 не был, он имеет весьма огран-
иченную практическую ценность. Оптимизационные задачи, возникающие
на практике, имеют, как правило, нетривиальные ограничения, а теорема
1 в этом случае неприменима. Дальнейший прогресс в этой области был
достигнут другим гигантом математической мысли: Ж. Лагранжем. Для
решения условных экстремальных задач с нелинейными ограничениями-
равенствами

                        =   +0!" <%@()7*!8-9/0/ 2
                                                                 (6)

им была введена функция
                                                           ;                                  
                                                                                      
ительные переменные                   "(; *!8-9/0/
названная в его честь функцией Лагранжа. Эта функция содержит дополн-
                                    , которые называют множителями
Лагранжа. Условия оптимальности для задач вида (6) формулируются в
виде условий на функцию Лагранжа. 2
   Пожалуй проще всего эти условия оптимальности доказываются с пом-
ощью теоремы о неявной функции, которую мы в связи с этим приведем в
подходящей формулировке.
                                      
Теорема 4 Пусть                    — дифференцируемая вектор-функция, которая
                                                                             
                                                                            в  -мерное пространство  и в
              < :
отображает -мерное пространство
точке     , такой, что
                                                                       : ; %                                        (7)

                                                              = ==             = ==                                         = ==
                                      
                                         
                                                             
                                                                   
                                                                                          
                                                                                                
                                                                                                  
якобиан              
                     
                             
                                                    
                                                              
                                                                                  
                                                                                           
                                                                                                    /0
                                                                                                       
                                                                                             
                                                                                                     /0
                              %,;                        /= 0         /= /                                       0= /
                                                                                                   
                            
                                                                                                     /0    
                                                                                                                 
                                                               ==               ==                                           ==
                                    !
                                         "                 
                                                                  "                     
                                                                                               "
                                 
                                         
                                                 
                                                     
                                                                   
                                                                         
                                                                                  
                                                                                                
                                                                                                      /0
                                                                                                       
                                                                                                                 
                                                                                                                     
этого преобразования невырожден.
   Тогда из существования решения уравнения (7) следует существование
решения у уравнения
                                                                   (8) 
                                                                                                                       :9 '
для всех достаточно малых , причем решение
рерывно зависит от в точке      .                                     %                                                           уравнения (8) неп-

   2 Функцию       Лагранжа записывают иногда в больее +0общем
                                                         /+   виде как
                                                                                  +
                                               #
                                                       BC M%$,E@V&$'5A4BDC!E(*)              $              BDC!E
                                                                                      ,.-
Это связано с тем, что в определенных вырожденных ситуациях множитель Лагранжа
$ ' может быть равен нулю. Если он не равен нулю, что чаще всего и бывает, то функцию
Лагранжа можно отнормировать так, что коэффициент при           будет равен единице.                                    A4BC!E
                                                                           5

Страницы