Нелинейное программирование. Нурминский Е.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Пример.(Теорема Релея) Пусть — -мерный вектор, — симметри-
ческая положительно определенная матрица.
Рассмотрим задачу
(10)
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
Условия оптимальности имеют вид
Если , то и, следовательно, . Однако не удовлетво-
ряет ограничениям задачи и, следовательно .
Разделив на получим то есть оптимальный с необходим-
остью является собственным вектором матрицы , а множитель Лагранжа
— собственным числом.
Задача (10) при этом приобретает вид
— собственное число матрицы
что дает альтернативное описание минимального собственного числа —
утверждение известное в линейной алгебре как теорема Релея.
В дальнейшем условия оптимальности были обобщены на случай ограничений-
неравенств. Эти обобщения были выполнены в общем-то в рамках формали-
зма Лагранжа, хотя и с использованием другого математического аппарата.
1.2.2 Седловая точка
Существует и другая форма условий экстремума, которая формулируется
в виде неравенств на значения функции Лагранжа. Оказывается существо-
вание экстремума тесно связано с наличием у функции Лагранжа так наз-
ываемой седловой точки.
Определение 6 Точка называется седловой точкой функции ,
если для любых выполнены неравенства
(11)
Связь между седловой точкой функции Лагранжа и решением соответст-
вующей оптимизационной задачей описывается следующими двумя теоре-
мами. Первая из них показывает, что существование седловой точки влечет
за собой оптимальность ее -компоненты:
Теорема 7 Если — седловая точка функции Лагранжа, то
и
7
Пример.(Теорема Релея) Пусть — -мерный вектор,                                                                       — симметри-
ческая положительно определенная матрица.


                                                                   0 
                                                                  
   Рассмотрим задачу
                                                                   *                                                       (10)


                                                                                 5  
                                                                                            
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
                                     

                                                                   
Условия оптимальности имеют вид
                                          '%        
                          
Если   % , то   <% и, следовательно, <% . Однако  %
                                                                                                    
ряет ограничениям задачи и, следовательно   % .
                 
                                                                                                                     не удовлетво-

   Разделив на  получим            то есть оптимальный
                                                                                                                  с необходим-

остью является собственным вектором матрицы
  — собственным числом.
                                                                                                        , а множитель Лагранжа

   Задача (10) при этом приобретает вид
                                                                                    D
              0 
             
              +*
                   
                                                     — собственное число матрицы
что дает альтернативное описание минимального собственного числа     —
утверждение известное в линейной алгебре как теорема Релея.
   В дальнейшем условия оптимальности были обобщены на случай ограничений-
неравенств. Эти обобщения были выполнены в общем-то в рамках формали-
зма Лагранжа, хотя и с использованием другого математического аппарата.

1.2.2   Седловая точка
Существует и другая форма условий экстремума, которая формулируется
в виде неравенств на значения функции Лагранжа. Оказывается существо-
вание экстремума тесно связано с наличием у функции Лагранжа так наз-
ываемой седловой точки.
                                         : :                                                                                
                      6
                                                                   ,
Определение 6 Точка
                             %'"
                               называется седловой точкой функции


                                                          6                           6
если для любых          выполнены неравенства
                                              :                :  :                   :  5                     (11)
Связь между седловой точкой функции Лагранжа и решением соответст-
вующей оптимизационной задачей описывается следующими двумя теоре-
мами. Первая из них показывает, что существование седловой точки влечет
за собой оптимальность ее -компоненты:
Теорема 7 Если         : W:
                        — седловая точка функции Лагранжа, то                                                               :U
                       : ;                                    = D              5
и
                                = 


                                                                           7

Страницы