Нелинейное программирование. Нурминский Е.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

для некоторого .
Заметим, что точка не принадлежит и, следовательно,
отделима от этого множества некоторой гиперплоскостью ,
т.е.
(14)
Отсюда следует в первую очередь, что , т.к. иначе левую часть можно
устремить к , неограниченнно увеличивая , соответствующее какому-
либо строго отрицательному .
Кроме этого, вычисляя правой части (14) по или
получаем
(15)
Можно показать, что в предположениях теоремы . Действительно,
если предположить, что и взять , то (15) приводит к противо-
речию:
Таким образом и, разделив (15) на после переобозначений полу-
чаем
(16)
Теперь положим и устремим . Из (16) получаем
или . Тогда (16) может быть переписано в виде
(17)
что почти убеждает в наличие седловой точки функции Лагранжа. Для
завершения доказательства необходимо лишь удостовериться в том, что
или
для . Последнне, впрочем, тривиально, т.к. правая чать равна нулю,
а левая — неположительна.
9
                           
для некоторого        .
                                             % +O%'"%@/0/.%,
                                                    
     Заметим, что точка             не принадлежит и, следовательно,
отделима от этого множества некоторой гиперплоскостью                                                                                                                   :Q7 : : 0/0/ :       ,

                                                                                                                                    5
т.е.
                                                         %  %                    : #                                       : 
                                                                (14)
                                                                                                             
                  
Отсюда следует в первую очередь, что    , т.к. иначе левую часть можно
устремить к  , неограниченнно увеличивая , соответствующее какому-
                                                                                                     :           6% 5
                                                                      :
либо строго отрицательному  .
   Кроме этого, вычисляя  правой части (14) по
                                                      D                                                                5   
                           5 &                                               56
                                                         или
                                                                    :                             !"5(;7*!.-'/0/5
получаем
                                            :  : #  :                                                                             : !5
                                                                                                                       
                                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                                                                  (15)

Можно показать, что в предположениях теоремы                                                                                                               :        %
если предположить, что     и взять            :  % . Действительно,
                                        , то (15) приводит к противо-                                       
                                                                                                                           *
речию:
                                                               % #                         :                                            %'
                                                                             
Таким образом            :        %       и, разделив (15) на                                                               :            после переобозначений полу-
чаем
                                     : #     : !.     : 5
                                                   
                                                                                             5 &
                                                                                                                                                                                                  (16)

Теперь положим                      : и устремим           Q% . Из (16) получаем
                                                                     %#                    : !"$#&%
                                                                                 
или    :   :; %'"()*,.-'//0                                  . Тогда (16) может быть переписано в виде

                            :                                    :   :                                  :  : $#                                     :5
                                                                                                                                                                                                 (17)

что почти убеждает в наличие седловой точки функции Лагранжа. Для
завершения доказательства необходимо лишь удостовериться в том, что

         :                   : ;                              :              #                   :  : < :                                                      :   : 
                                                                                                                                                                         
или
                                                                      ! : #                                              : !. :
                                                                                                        
для     6   %
         . Последнне, впрочем, тривиально, т.к. правая чать равна нулю,
а левая — неположительна.

                                                                                             9

Страницы