Нелинейное программирование. Нурминский Е.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1.2.3 Дифференциальная форма условий оптимальности
Условия связывающие оптимальность с седловой точкой функции Лагран-
жа имеют большое теоретическое значение, так как применимы к весь-
ма общим ситуациям. Вместе с тем они недостаточно конструктивны, так
как представляют собой по сути дела бесконечную систему неравенств. На
практике чаше применяют дифференциальную форму условий оптимальн-
ости, известную под названием условий Куна-Таккера. Для формулировки
этих условий введем для задачи (1) несколько дополнительных определен-
ий.
Определение 9 Множество
индексов ограничений, таких что
при называется множеством активных ограничений.
Пусть — некоторая ( фиксированная ) точка.
Определение 10 Направление называется допустимым (в точке ),
если существует такое, что для всех
(18)
Множество ( конус ) допустимых направлений можно охарактириз-
овать следующей леммой.
Лемма 11 Если такого, что существует при котором
, то — допустимое направление.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проблему представляют только ограничения гр-
уппы , для остальных любое направление являтся допустимым. Пусть
и удовлетворяют (18) с . Тогда
для достаточно малых , т.е. точка будет допустимой.
Доказанная лемма дает нам возможность доказать основной результат.
Теорема 12 Если является точкой локального минимума и
линейно независимы, то существуют , такие,
что
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что если допустима и оптимальна,
то система неравенств
(19)
(20)
10
1.2.3               Дифференциальная форма условий оптимальности
Условия связывающие оптимальность с седловой точкой функции Лагран-
жа имеют большое теоретическое значение, так как применимы к весь-
ма общим ситуациям. Вместе с тем они недостаточно конструктивны, так
как представляют собой по сути дела бесконечную систему неравенств. На
практике чаше применяют дифференциальную форму условий оптимальн-
ости, известную под названием условий Куна-Таккера. Для формулировки
этих условий введем для задачи (1) несколько дополнительных определен-
ий.
                                                                                                                                          
 при%(  
Определение 9 Множество     индексов ограничений, таких что
           называется множеством активных ограничений.
Пусть : — некоторая ( фиксированная ) точка.
                                                                  
                                                                                               *
                                                                 : ),
                                             %% # 
Определение 10 Направление называется допустимым (в точке
если существует    такое, что для всех
                       :  $#&%'(6*,.-90/0         (18)

Множество ( конус )   :W допустимых направлений можно охарактириз-
овать следующей леммой.
                                                                                                       &%
Лемма 11 Если
                                                   >  :
                                     такого, что существует 
                                                                                    #&%@(;  : 
                                                                                                                при котором



, то
                   — допустимое направление.
                                                                          




                    @:L
                                                          &%
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проблему представляют только ограничения гр-
уппы       , для остальных любое направление являтся допустимым. Пусть
  и  удовлетворяют (18) с       . Тогда
                                                   
                 ! @:   !"@:L   >  :W 9 H#                                
                                                  .     *
                  9  H#    9  $#   !- %'
для достаточно малых                                   + 
                              % , т.е. точка :  будет допустимой.
           Доказанная лемма дает нам возможность доказать основной результат.
                                         :                                                                                           >  :L5( 
что
        @:L
Теорема 12 Если    является точкой локального минимума и
    линейно независимы, то существуют                  , такие,                                      6     %@( *,.-90/05
                                                 > :                                   >  :  %'
                                                                              
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что если                                                     :       допустима и оптимальна,
то система неравенств
                                                   >  @:L #&%'"(;  @:L5
                                                             >  @:L # %
                                                                      
                                                                                         
                                                                                                                                             (19)
                                                                                                                                             (20)

                                                                                    10

Страницы