Нелинейное программирование. Нурминский Е.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из правой части (11) следует, что
(12)
для любых . Отсюда ясно. что как минимум , т.е. точка
с необходимостью удовлетворяет ограничениям задачи (1-2).
Более того, полагая в (12) получаем
а учитывая то, что все слагаемые этой суммы неположительны, то
(13)
Эти условия носят название условий дополняющей нежесткости или усло-
вий комплементарности.
Из (13) следует, в частности, что для ограничений, выполняющихся как
строгие неравенства, соответствующие двойственные переменные равны нулю.
При выполнении некоторых дополнительных условий регулярности выпол-
няются и условия строгой дополняющей нежесткости:
или условия строгой комплементарности.
Далее, из (11) следует, что
Если , то и, следовательно,
что доказывает оптимальность .
Доказательство обратного утверждения требует выполнения некоторых
дополнительных условий.
Теорема 8 Пусть и — выпуклые функции, и суще-
ствует точка такая, что . Тогда для люб-
ой точки , являющейся решением задачи (1) существуют величины
такие, что является седловой точкой
функции Лагранжа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства рассмотрим -мерное
пространство векторов и определим в нем множество
8
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из правой части (11) следует, что


                                                          
                                                                       :  :                6         
                                                                                                                          :                               (12)


для любых          6               %
                 . Отсюда ясно. что как минимум           , т.е. точка                                                               @:LH# %                  :
с необходимостью удовлетворяет ограничениям задачи (1-2).
   Более того, полагая в (12)    получаем                                           %
                                                                %       6   
                                                                                             :   :           6         %

а учитывая то, что все слагаемые этой суммы неположительны, то
                                                         : ! : <%'(+*,.-90/0                                                                    (13)

Эти условия носят название условий дополняющей нежесткости или усло-
вий комплементарности.
   Из (13) следует, в частности, что для ограничений, выполняющихся как
строгие неравенства, соответствующие двойственные переменные равны нулю.
При выполнении некоторых дополнительных условий регулярности выпол-

                                                                                                                                        +
няются и условия строгой дополняющей нежесткости:
                                       : !" : ; %'"()7*!.-'/0/                                                : ! : &%'
или условия строгой комплементарности.
   Далее, из (11) следует, что

                 : ;                            :  : #                                    : ;                              : !5
                                                                                                                                   
Если        , то
                                           : !.$# %                и, следовательно,
                             : # 5
что доказывает оптимальность : .
   Доказательство обратного утверждения требует выполнения некоторых
дополнительных условий.
Теорема 8 Пусть      и
ствует точка  такая, что
             :                  
                                             
                                   "( !* 8-9/0/5
                                      — выпуклые функции, и суще-
                                            '% "(  *!8-9/0/
                                                    . Тогда для люб-                              *
% #  :    : ,  являющейся
ой точки

функции Лагранжа.
                                
                     : /0/  : такие,     что  :  :W является седловой точкой
                                       решением задачи (1) существуют величины


                                                                                                                                                          *
                                        5 5 5 5
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства рассмотрим 
                                                           //0
                                                         7      -мерное

                                 5     5 6
пространство векторов                     и определим в нем множество
                                                       : 5                                            (;*,.-90/0

                                                                                              8

Страницы