Нелинейное программирование. Нурминский Е.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1.2.1 Условия оптимума с ограничениями-равенствами
Для задачи (6) справедлива следующая теорема.
Теорема 5 Если
— точка локального минимума или максимума, то
существуют не все равные нулю, такие, что
Д о к а з а т е л ь с т в о. Не умаляя общности можно считать, что
. Если предположить противное, то векторы ,
линейно независимы и, следовательно, якобиан системы уравнений
(9)
отличен от нуля в точке .
Из теоремы о неявной функции следует, что при достаточно малых
существует решение системы
причем при малых точка близка к . Следовательно, точка не
является точкой локального минимума, что противоречит предположению
теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.
Пример. Рассмотрим задачу
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
после чего получаем систему уравнений — необходимые условия экстремума
и условия допустимости:
решением которой являются две точки и .
Непосредственной проверкой убеждаемся, что вторая из них является
точкой минимума со значением .
6
1.2.1   Условия оптимума с ограничениями-равенствами
Для задачи (6) справедлива следующая теорема.
                   :
существуют      //—0 точка
Теорема 5 Если
                             не все    локального минимума или максимума, то
                                           равные нулю, такие, что

                               >  :            >  : ; %'
                                             
                                                                                    :;
%                                                       >  @:L  >  :(S *,.-'//05
Д о к а з а т е л ь с т в о. Не умаляя общности можно считать, что
 . Если предположить противное, то векторы          ,
линейно независимы и, следовательно, якобиан системы уравнений
                                     %
                               <%'"()+*,.-'//0                                    (9)

отличен от нуля в точке
                       :9
                              :.
   Из теоремы о неявной функции следует, что при достаточно малых                          &%
                                       *
существует решение       системы
                                           @:
                             <   %'"()+*,.-'//0
причем при малых       точка :4     близка к : . Следовательно, точка :
                                                                  не
является точкой локального минимума, что противоречит предположению
теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пример. Рассмотрим задачу


                                         
                                   D!  !
                                             +*

                                 ,  L       &*
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
                    
после чего получаем систему уравнений — необходимые условия экстремума
и условия допустимости:
                                 
                                  -   <%
                               
                                 
                                        
                                   -  <%
                                        *!
                                           7  и    4 .   
                                         !
решением которой являются две точки

точкой минимума со значением        .
   Непосредственной проверкой убеждаемся, что вторая из них является




                                          6

Страницы