Операционное исчисление. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ïÐÅÒÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ
§1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ìÁÐÌÁÓÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f(t) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ F (p) ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ p = s + iσ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
(1) F (p) =
+∞
Z
0
f(t)e
−pt
dt,
f(t) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ, F (p) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ. ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ
É ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ (??) ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌÉ-
ÞÅÓËÉ
f(t) →F (p).
ðÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÚÁÐÉÓÉ
f(t) : F (p),
f(t)
.
←
.
F (p).
÷ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (??) ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ f(t) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÁÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ t, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ
1) f (t) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ.
2) f (t) = 0 ÐÒÉ t < 0.
3) ÐÒÉ t → +∞ ÆÕÎËÃÉÑ f (t) ÌÉÂÏ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ, ÌÉÂÏ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÔÅÔ
ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ, ÔÏ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ ÜËÓÐÏÎÅÎÔÙ, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ M > 0, É s
0
> 0 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ |f (t)| 6 Me
s
0
t
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t.
éÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F (p) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ × ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ Re p = s > s
0
É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×
ÜÔÏÊ ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ.
ðÒÉÍÅÒ 1. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
f(t) =
e
2t
sin 3t ÐÒÉ t > 0,
0 ÐÒÉ t < 0
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ.
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÌÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ 1), 2), 3).
1
            ïÐÅÒÁÃÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ

  §1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ìÁÐÌÁÓÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (t) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ F (p) ËÏÍ-
ÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ p = s + iσ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
                                   Z+∞
(1)                        F (p) =    f (t)e−ptdt,
                                   0

f (t) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ, F (p) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ. ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ
É ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ (??) ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌÉ-
ÞÅÓËÉ
                               f (t) → F (p).
ðÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÚÁÐÉÓÉ
                               f (t) : F (p),
                                     .
                               f (t)←. F (p).
÷ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (??) ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ f (t) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÁÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ t, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ
    1) f (t) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ.
    2) f (t) = 0 ÐÒÉ t < 0.
    3) ÐÒÉ t → +∞ ÆÕÎËÃÉÑ f (t) ÌÉÂÏ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ, ÌÉÂÏ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÔÅÔ
       ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ, ÔÏ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ ÜËÓÐÏÎÅÎÔÙ, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ
       ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ M > 0, É s0 > 0 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ |f (t)| 6 M es0 t ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t.
éÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F (p) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ × ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ Re p = s > s0 É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×
ÜÔÏÊ ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
                                 2t
                                 e sin 3t ÐÒÉ t > 0,
                        f (t) =
                                     0    ÐÒÉ t < 0
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ.
  òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÌÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ 1), 2), 3).
                                  1

Страницы