Операционное исчисление. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 §2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ìÁÐÌÁÓÁ
ðÒÉÍÅÒ 1. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÏÒÉÇÉÎÁÌÁ, ÎÁÊÔÉ
ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
f(t) = sin
2
t.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ
f(t) →F (p).
ôÏÇÄÁ
f
0
(t) →pF (p) −f(0).
õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ f(0) = 0 É f
0
(t) = 2 sin t cos t = sin 2t ÎÁÈÏÄÉÍ
sin 2t →
2
p
2
+ 4
,
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
2
p
2
+ 4
= pF (p) ⇒ F (p) =
2
p(p
2
+ 4)
.
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
sin
2
t →
2
p(p
2
+ 4)
.
2.4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ÎÁ (−t) ÏÒÉÇÉÎÁÌÁ
−tf(t) →F
0
(p)
É
(−t)
n
f(t) →F
n
(p), n ∈ N.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
f(t) = t
2
e
t
.
òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË e
t
→
1
p−1
, ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÚÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
1
p − 1
0
= −
1
(p − 1)
2
, te
t
→
1
(p − 1)
2
.
äÁÌÅÅ
−
1
(p − 1)
2
0
= −
2!
(p − 1)
3
,
ÏÔËÕÄÁ
t
2
e
t
→
2
(p − 1)
3
.
4                                         §2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ìÁÐÌÁÓÁ

   ðÒÉÍÅÒ 1. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÏÒÉÇÉÎÁÌÁ, ÎÁÊÔÉ
ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
                                   f (t) = sin2 t.
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ
                                   f (t) → F (p).
ôÏÇÄÁ
                           f 0 (t) → pF (p) − f (0).
õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ f (0) = 0 É f 0(t) = 2 sin t cos t = sin 2t ÎÁÈÏÄÉÍ
                                              2
                                 sin 2t → 2        ,
                                           p +4
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
                    2                                      2
                        =  pF   (p)     ⇒     F (p)  =           .
                 p2 + 4                                p(p2 + 4)
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                              2
                              sin2 t →       2
                                                     .
                                          p(p + 4)

2.4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ

äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ÎÁ (−t) ÏÒÉÇÉÎÁÌÁ
                                 −tf (t) → F 0 (p)
É
                      (−t)nf (t) → F n (p), n ∈ N.
    ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
                                   f (t) = t2 et .
                          1
  òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË et → p−1 , ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÚÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                     0
                   1            1          t      1
                         =−           , te   →          .
                  p−1        (p − 1)2          (p − 1)2
äÁÌÅÅ
                                         0
                                  1                    2!
                             −                 =−            ,
                               (p − 1)2             (p − 1)3
ÏÔËÕÄÁ
                                               2
                                 t2 e t →            .
                                            (p − 1)3

Страницы