Операционное исчисление. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 §2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ìÁÐÌÁÓÁ
òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË cos 2t →
p
p
2
+4
, ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ÓÍÅÝÅÎÉÑ (p
0
= −1)
ÉÍÅÅÍ
e
−t
cos 2t →
p + 1
(p + 1)
2
+ 4
.
2.8. ôÅÏÒÅÍÁ ÚÁÐÁÚÄÙ×ÁÎÉÑ
åÓÌÉ f (t) →F (p), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ τ
f(t −τ) →e
−pτ
F (p).
ôÅÏÒÅÍÕ ÚÁÐÁÚÄÙ×ÁÎÉÑ ÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÐÒÉ ÏÔÙÓËÁÎÉÉ ÉÚÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁ ÒÁÚÎÙÈ ÕÞÁÓÔËÁÈ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÍÉ ÁÎÁÌÉ-
ÔÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑÍÉ.
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
f(t − 1) = (t − 1)
2
.
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (t) = t
2
ÉÍÅÅÍ
f(t) →
2
p
2
.
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ÚÁÐÁÚÄÙ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ (t −1)
2
ÐÏÌÕÞÁÅÍ
(t − 1)
2
→e
−p
2
p
2
.
úÄÅÓØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÉÝÅÔÓÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ f (t−1), ÒÁ×ÎÏÊ ÎÕÌÀ
ÐÒÉ t < 1 (t − 1 < 0 ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÓÍ. Ó. ??.)
2.9. ôÅÏÒÅÍÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ âÏÒÅÌÑ (ÔÅÏÒÅÍÁ Ï Ó×ÅÒÔËÅ)
ðÕÓÔØ
f(t) →F (p), ϕ(t) →(p).
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ F (p) É (p) ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ,
ÐÒÉÞÅÍ
t
Z
0
f(τ )ϕ(t −τ) dτ →F (p) · (p).
éÎÔÅÇÒÁÌ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÅÒÔËÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ f(t) É ϕ(t) É ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f (t) ∗ ϕ(t) :
f(t) ∗ ϕ(t) =
t
Z
0
f(τ )ϕ(t −τ) dτ =
t
Z
0
f(t − τ )ϕ(τ) dτ = ϕ(t) ∗ f (t).
6                                   §2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ìÁÐÌÁÓÁ

  òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË cos 2t → p2p+4 , ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ÓÍÅÝÅÎÉÑ (p0 = −1)
ÉÍÅÅÍ
                                      p+1
                    e−t cos 2t →                .
                                   (p + 1)2 + 4

2.8. ôÅÏÒÅÍÁ ÚÁÐÁÚÄÙ×ÁÎÉÑ

åÓÌÉ f (t) → F (p), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ τ
                           f (t − τ ) → e−pτ F (p).
  ôÅÏÒÅÍÕ ÚÁÐÁÚÄÙ×ÁÎÉÑ ÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÐÒÉ ÏÔÙÓËÁÎÉÉ ÉÚÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁ ÒÁÚÎÙÈ ÕÞÁÓÔËÁÈ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÍÉ ÁÎÁÌÉ-
ÔÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑÍÉ.
  ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
                            f (t − 1) = (t − 1)2.
  òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (t) = t2 ÉÍÅÅÍ
                                          2
                                  f (t) → 2 .
                                         p
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ÚÁÐÁÚÄÙ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ (t − 1)2 ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                              2
                              (t − 1)2 → e−p 2 .
                                              p
úÄÅÓØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÉÝÅÔÓÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ f (t − 1), ÒÁ×ÎÏÊ ÎÕÌÀ
ÐÒÉ t < 1 (t − 1 < 0 ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÓÍ. Ó. ??.)

2.9. ôÅÏÒÅÍÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ âÏÒÅÌÑ (ÔÅÏÒÅÍÁ Ï Ó×
                                           ÅÒÔËÅ)

ðÕÓÔØ
                       f (t) → F (p), ϕ(t) → (p).
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ F (p) É (p) ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ,
ÐÒÉÞÅÍ
                    Zt
                       f (τ )ϕ(t − τ ) dτ → F (p) · (p).
                      0
   éÎÔÅÇÒÁÌ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÅÒÔËÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ f (t) É ϕ(t) É ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f (t) ∗ ϕ(t) :
                   Zt                   Zt
     f (t) ∗ ϕ(t) = f (τ )ϕ(t − τ ) dτ = f (t − τ )ϕ(τ ) dτ = ϕ(t) ∗ f (t).
                  0                     0

Страницы