Операционное исчисление. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

2 §1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
õÓÌÏ×ÉÅ ??) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ × ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
t
2
Z
t
1
e
2t
sin 3t dt
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ t
1
É t
2
.
õÓÌÏ×ÉÅ ??) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÑ × ÓÉÌÕ ÚÁÄÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ (f (t) = 0 ÐÒÉ t < 0).
õÓÌÏ×ÉÅ ??) ÔÏÖÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ t ×ÅÒÎÁ
ÏÃÅÎËÁ |e
2t
sin 3t| 6 e
2t
, ÐÏÜÔÏÍÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å M × ÕÓÌÏ×ÉÉ ??) ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ
ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ ÂÏÌØÛÅÅ 1, Á s
0
= 2.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÅÄÉÎÉÞ-
ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ èÅ×ÉÓÁÊÄÁ
η(t) =
1 ÐÒÉ t > 0,
0 ÐÒÉ t < 0.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ×ÓÅ ÆÕÎËÃÉÉ f (t) ÒÁ×ÎÙÍÉ
ÎÕÌÀ ÐÒÉ t < 0.
ðÒÉÍÅÒ 2. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ, ÎÁÊÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
f(t) = e
3t
.
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (t) = e
3t
ÉÍÅÅÍ s
0
= 3. úÎÁÞÉÔ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
F (p) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ
Re p > 3. îÁÊÄÅÍ F (p) ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (??)
F (p) =
+∞
Z
0
e
3t
e
−pt
dt =
+∞
Z
0
e
−(p−3)t
dt =
1
−(p − 3)
e
−(p−3)t
+∞
0
(Re p = s > 3).
éÔÁË, F (p) =
1
p−3
.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌÁÍÉ:
1) f(t) = b
t
, b > 0, b 6= 1.
2) f(t) = e
(2+3i)t
.
3) f(t) =
1
t − 3
.
4) f(t) = t
2
.
5) f(t) = ch(3 − i).
6) f(t) = tg t.
7) f(t) = t
t
.
8) f(t) = e
−t
cos t.
2                                                     §1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ

    õÓÌÏ×ÉÅ ??) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ × ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                               Zt2
                                   e2t sin 3t dt
                                 t1
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ t1 É t2 .
   õÓÌÏ×ÉÅ ??) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÑ × ÓÉÌÕ ÚÁÄÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ (f (t) = 0 ÐÒÉ t < 0).
   õÓÌÏ×ÉÅ ??) ÔÏÖÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ t ×ÅÒÎÁ
ÏÃÅÎËÁ |e2t sin 3t| 6 e2t , ÐÏÜÔÏÍÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å M × ÕÓÌÏ×ÉÉ ??) ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ
ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ ÂÏÌØÛÅÅ 1, Á s0 = 2.
   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÅÄÉÎÉÞ-
ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ èÅ×ÉÓÁÊÄÁ
                                    
                                      1 ÐÒÉ t > 0,
                             η(t) =
                                      0 ÐÒÉ t < 0.
  úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ×ÓÅ ÆÕÎËÃÉÉ f (t) ÒÁ×ÎÙÍÉ
ÎÕÌÀ ÐÒÉ t < 0.
  ðÒÉÍÅÒ 2. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ, ÎÁÊÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
                                      f (t) = e3t .
   òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (t) = e3t ÉÍÅÅÍ s0 = 3. úÎÁÞÉÔ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
F (p) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ
Re p > 3. îÁÊÄÅÍ F (p) ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (??)
          Z+∞            Z+∞                                  +∞
              3t −pt          −(p−3)t         1       −(p−3)t
  F (p) =    e e dt =       e         dt =          e            (Re p = s > 3).
                                           −(p − 3)           0
          0              0
                 1
éÔÁË, F (p) =   p−3 .


úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌÁÍÉ:
  1) f (t) = bt , b > 0, b 6= 1.
  2) f (t) = e(2+3i)t.
                 1
  3) f (t) =        .
             t−3
  4) f (t) = t2 .
  5) f (t) = ch(3 − i).
  6) f (t) = tg t.
  7) f (t) = tt .
  8) f (t) = e−t cos t.

Страницы