Операционное исчисление. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ 13
ÇÄÅ
ψ
n−1
(p) = a
0
(p
n−1
x
0
+ p
n−2
x
0
0
. . . + x
(n−1)
0
)+
+ a
1
(p
n−2
x
0
+ p
n−3
x
0
0
. . . + x
(n−2)
0
)+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ a
n−2
(px
0
+ x
0
0
− a
n−1
x
0
),
ϕ
n
(p) = a
0
p
n
+ a
1
p
n−1
+ . . . + a
n−1
p + a
n
.
÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ (??) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ x(t) ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ (??). îÁÈÏÄÑ ÐÏ X(p) ÏÒÉÇÉÎÁÌ x(t), ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ
ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (??).
åÓÌÉ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÎÕÌÅ×ÙÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÔÏ ÅÓÔØ
x
0
= x
0
0
= . . . = x
(n−1)
0
= 0,
ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (??) ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ
X(p) =
F (p)
a
0
p
n
+ a
1
p
n−1
+ . . . + a
n−1
p + a
n
.
îÁÊÄÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ (??) ÐÒÉ ÎÕÌÅ×ÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ n = 2 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
a
0
d
2
x(t)
dt
2
+ a
1
dx(t)
dt
+ a
2
x(t) = f (t)
Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ x(0) = x
0
, x
0
(0) = x
0
0
.
ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ x(t) →X(p), f (t) →F (p), ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
(a
0
p
2
+ a
1
p + a
2
)X(p) − (a
0
px
0
+ a
0
x
0
0
+ a
1
x
0
) = F (p),
ÏÔËÕÄÁ
X(p) =
F (p) + a
0
px
0
+ a
0
x
0
0
+ a
1
x
0
a
0
p
2
+ a
1
p + a
2
.
îÁÈÏÄÑ ÐÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÀ X(p) ÏÒÉÇÉÎÁÌ x(t), ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÏÓÔÁ-
×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
d
2
x
dt
2
+ 3
dx
dt
+ 2x = t,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÐÒÉ t = 0 : x
0
= x
0
0
= 0.
§4. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ                                                 13

ÇÄÅ
                                           (n−1)
 ψn−1(p) = a0 (pn−1x0 + pn−2x00 . . . + x0         )+
                                                            (n−2)
                       + a1 (pn−2x0 + pn−3x00 . . . + x0        )+
                     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                                            + an−2 (px0 + x00 − an−1x0),

                   ϕn (p) = a0 pn + a1 pn−1 + . . . + an−1p + an .
  ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ (??) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ x(t) ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÑ (??). îÁÈÏÄÑ ÐÏ X(p) ÏÒÉÇÉÎÁÌ x(t), ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ
ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (??).
  åÓÌÉ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÎÕÌÅ×ÙÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÔÏ ÅÓÔØ
                                                   (n−1)
                            x0 = x00 = . . . = x0          = 0,
ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (??) ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ
                                             F (p)
                   X(p) =                                          .
                             a0 pn + a1 pn−1 + . . . + an−1 p + an
îÁÊÄÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ (??) ÐÒÉ ÎÕÌÅ×ÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ.
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ n = 2 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ.
                        d2 x(t)       dx(t)
                     a0         + a 1       + a2 x(t) = f (t)
                         dt2           dt
Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ x(0) = x0, x0(0) = x00 .
   ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ x(t) → X(p), f (t) → F (p), ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
            (a0p2 + a1 p + a2 )X(p) − (a0 px0 + a0 x00 + a1 x0) = F (p),
ÏÔËÕÄÁ
                         F (p) + a0 px0 + a0 x00 + a1 x0
                  X(p) =                                 .
                               a0 p 2 + a 1 p + a 2
îÁÈÏÄÑ ÐÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÀ X(p) ÏÒÉÇÉÎÁÌ x(t), ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÏÓÔÁ-
×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                d2 x     dx
                                     + 3    + 2x = t,
                                dt2      dt
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÐÒÉ t = 0 : x0 = x00 = 0.

Страницы