Операционное исчисление. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

14 §4. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ x(t) →X(p). ôÁË ËÁË f (t) = t, ÔÏ t →
1
p
2
.
äÁÌÅÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
dx
dt
→ pX(p) − x(0) = pX(p),
d
2
x
dt
2
→ p
2
X(p) − px(0) − x
0
(0) = p
2
X(p).
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ (ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅ)
X(p)(p
2
+ 3p + 2) =
1
p
2
É ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ
X(p) =
1
p
2
(p
2
+ 3p + 2)
.
þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌ, ÒÁÚÌÏÖÉÍ ÄÒÏÂØ ÎÁ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ
1
p
2
(p
2
+ 3p + 2)
=
A
p
+
B
p
2
+
C
p + 1
+
D
p + 2
,
ÇÄÅ A, B, C, D ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ.
äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ
A + C + D = 0,
3A + B + 2C + D = 0,
A + 3B = 0,
2B = 1.
=⇒
A = −
3
2
, B =
1
2
,
C =
5
2
, D = −1.
ôÏÇÄÁ
X(p) = −
3
2
·
1
p
+
1
2
·
1
p
2
+
5
2
·
1
p + 1
−
1
p + 2
É ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ ??, ?? É ?? ÔÁÂÌÉÃÙ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÎÁ Ó. ?? ÎÁÈÏÄÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ
x(t) = −
3
2
+
1
2
t +
5
2
e
−t
− e
−2t
.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
x
00
+ x = 2 cos t, x(0) = 0, x
0
(0) = −1.
òÅÛÅÎÉÅ:
x(t) → X(p),
x
0
(t) → pX(p) − x(0) = pX(p),
x
00
(t) → p
2
X(p) − px(0) − x
0
(0) = p
2
X(p) + 1,
cos t →
p
p
2
+ 1
, p
2
X(p) + 1 + X(p) =
2p
p
2
+ 1
.
14                                    §4. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

  òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ x(t) → X(p). ôÁË ËÁË f (t) = t, ÔÏ t → p12 .
äÁÌÅÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                   dx
                   dt     → pX(p) − x(0) = pX(p),
                   d2 x
                   dt2    → p2X(p) − px(0) − x0(0) = p2 X(p).
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ (ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅ)
                                                 1
                            X(p)(p2 + 3p + 2) = 2
                                                p
É ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ
                                          1
                           X(p) = 2 2              .
                                    p (p + 3p + 2)
   þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌ, ÒÁÚÌÏÖÉÍ ÄÒÏÂØ ÎÁ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ
                         1           A B        C      D
                                  =    +    +        +     ,
                 p2 (p2 + 3p + 2)    p p2 p + 1 p + 2
ÇÄÅ A, B, C, D ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ.
   äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ
      
              A + C + D = 0,
                                                 A = − 23 , B = 21 ,
      
        3A + B + 2C + D = 0,
      
                                        =⇒
      
                 A + 3B = 0,                    C = 52 , D = −1.
                        2B = 1.
      

ôÏÇÄÁ
                          3 1 1 1       5  1        1
               X(p) = − · + · 2 + ·            −
                          2 p 2 p       2 p+1 p+2
É ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ ??, ?? É ?? ÔÁÂÌÉÃÙ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÎÁ Ó. ?? ÎÁÈÏÄÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ
                              3 1     5
                      x(t) = − + t + e−t − e−2t .
                              2 2     2
   ðÒÉÍÅÒ 2. òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ëÏÛÉ
                   x00 + x = 2 cos t,    x(0) = 0,   x0 (0) = −1.
     òÅÛÅÎÉÅ:
                x(t) → X(p),
                x0(t) → pX(p) − x(0) = pX(p),
                x00 (t) → p2 X(p) − px(0) − x0 (0) = p2X(p) + 1,
                              p                               2p
                 cos t →          ,   p2X(p) + 1 + X(p) =          .
                           p2 + 1                           p2 + 1

Страницы