Операционное исчисление. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ 17
§5. òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ-
ÃÉÅÎÔÁÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ
òÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË
ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ
n
X
k=1
a
ik
d
2
x
k
dt
2
+ b
ik
dx
k
dt
+ c
ik
x
k
= f
i
(t) (i = 1, 2, . . . , n),
ÇÄÅ a
ik
, b
ik
, c
ik
= const, ÐÒÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
x
k
(0) = α
k
, x
0
k
(0) = β
k
.
ïÂÏÚÎÁÞÁÑ ÞÅÒÅÚ X
k
(p) É F
i
(p) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ x
k
(t) É f
i
(t) ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÐÅÒÅÊÄÅÍ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÉÚÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÊ
n
X
k=1
a
ik
p
2
+ b
ik
p + c
ik
= F
i
(p)+
+
n
X
k=1
[(a
ik
p + b
ik
)α
k
+ a
ik
β
k
] (i = 1, 2, . . . , n).
òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏ-
ÓÉÔÅÌØÎÏ X
k
(p), ÎÁÊÄÅÍ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ X
k
(p), Á ÚÁÔÅÍ ÉÈ ÏÒÉÇÉÎÁÌÙ x
k
(t) ÄÌÑ
k = 1, 2, . . . , n. üÔÏ É ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
x
00
= 3(y −x + z),
y
00
= x −y,
z
00
= −z
ÐÒÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
x(0) = 0, x
0
(0) = 0,
y(0) = 0, y
0
(0) = −1,
z(0) = 1, z
0
(0) = 0.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ
x(t) →X(p), y(t) →Y (p), z(t) →Z(p).
§5. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ                                                           17

   §5. òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÄÉÆ-
    ÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ-
    ÃÉÅÎÔÁÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ
òÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË
ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.
   îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ
          n 
                 d2 x k
                                      
         X                dxk
              aik 2 + bik     + cik xk = fi (t) (i = 1, 2, . . . , n),
                  dt       dt
            k=1
ÇÄÅ aik , bik , cik = const, ÐÒÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
                             xk (0) = αk ,       x0k (0) = βk .
   ïÂÏÚÎÁÞÁÑ ÞÅÒÅÚ Xk (p) É Fi (p) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ xk (t) É fi (t) ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÐÅÒÅÊÄÅÍ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÉÚÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÊ
  n
  X
        aik p2 + bik p + cik = Fi (p)+
                            

  k=1
                                     n
                                     X
                                 +         [(aik p + bik )αk + aik βk ]   (i = 1, 2, . . . , n).
                                     k=1
òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏ-
ÓÉÔÅÌØÎÏ Xk (p), ÎÁÊÄÅÍ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Xk (p), Á ÚÁÔÅÍ ÉÈ ÏÒÉÇÉÎÁÌÙ xk (t) ÄÌÑ
k = 1, 2, . . . , n. üÔÏ É ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. òÅÛÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
                               00
                               x = 3(y − x + z),
                                 y 00 = x − y,
                               00
                                 z = −z
ÐÒÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
                            x(0) = 0,          x0(0) = 0,
                            y(0) = 0,          y 0 (0) = −1,
                            z(0) = 1,          z 0 (0) = 0.
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÕÓÔØ
                    x(t) → X(p),      y(t) → Y (p),       z(t) → Z(p).

Страницы