Операционное исчисление. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

18 §5. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ
ôÏÇÄÁ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁ-
ÐÉÛÅÔÓÑ × ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ ÆÏÒÍÅ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ
p
2
X(p) = 3(Y (p) − X(p) + Z(p)),
p
2
Y (p) + 1 = X(p) − Y (p),
p
2
Z(p) − p = −Z(p).
üÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉ-
ÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. òÅÛÁÑ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÚÏÂÒÁ-
ÖÅÎÉÊ X(p), Y (p), Z(p), ÐÏÌÕÞÉÍ
X(p) =
3(p−1)
p
2
(p
2
+4)
,
Y (p) =
3(p−1)
p
2
(p
2
+1)(p
2
+4)
−
1
p
2
+1
,
Z(p) =
p
p
2
+1
.
îÁÊÄÅÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌÙ ÜÔÉÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ.
X(p) =
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 4)
.
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ X(p) × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ É ÎÁÊÄÅÍ ÎÅÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ.
X(p) =
A
p
+
B
p
2
+
C
p
2
+4
.
3(p − 1) = Ap(p
2
+ 4) + B(p
2
+ 4) + (Cp + D)p
2
.
p
3
0 = A + C,
p
2
0 = B + D,
p 3 = 4A,
p
0
−3 = 4B.
=⇒
A =
3
4
, B = −
3
4
,
D =
3
4
, C = −
3
4
.
X(p) =
3
4
·
1
p
−
3
4
·
1
p
2
−
3
4
·
p
p
2
+ 4
+
3
4
·
1
p
2
+ 4
.
îÁÈÏÄÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ, ÐÏÌÕÞÉÍ
x(t) =
3
4
−
3
4
t −
3
4
cos 2t +
3
8
sin 2t.
äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌ ÄÌÑ Y (p).
Y (p) =
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 1)(p
2
+ 4)
−
1
p
2
+ 1
,
1
p
2
+ 1
→ sin t.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
Y
1
(p) =
3(p − 1)
p
2
(p
2
+ 1)(p
2
+ 4)
.
18                                      §5. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ

ôÏÇÄÁ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁ-
ÐÉÛÅÔÓÑ × ÏÐÅÒÁÔÏÒÎÏÊ ÆÏÒÍÅ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ
                 2
                 p X(p)      = 3(Y (p) − X(p) + Z(p)),
                   2
                  p Y (p) + 1 = X(p) − Y (p),
                 2
                  p Z(p) − p = −Z(p).
üÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉ-
ÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. òÅÛÁÑ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÚÏÂÒÁ-
ÖÅÎÉÊ X(p), Y (p), Z(p), ÐÏÌÕÞÉÍ
                                      3(p−1)
                           X(p) =    p2 (p2 +4) ,
                                          3(p−1)               1
                           Y (p) =   p2 (p2 +1)(p2 +4)   −   p2 +1 ,
                                       p
                           Z(p) =    p2 +1
                                            .
îÁÊÄÅÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌÙ ÜÔÉÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ.
                                            3(p − 1)
                                X(p) =                 .
                                           p2 (p2 + 4)
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ X(p) × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ É ÎÁÊÄÅÍ ÎÅÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ.
            X(p)     = Ap + pB2 + p2C+4 .
            3(p − 1) = Ap(p2 + 4) + B(p2 + 4) + (Cp + D)p2.

            p3  0      =   A + C,
                                                                  3
            p 2
                0      =   B + D,                    A =          4
                                                                    ,   B = − 43 ,
                                          =⇒                      3
            p   3      =   4A,                       D =          4
                                                                    ,   C = − 34 .
              0
            p −3       =   4B.
                     3 1 3 1       3     p    3   1
              X(p) =  · − · 2− · 2          + · 2   .
                     4 p 4 p       4 p +4 4 p +4
îÁÈÏÄÑ ÏÒÉÇÉÎÁÌ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ, ÐÏÌÕÞÉÍ
                          3 3     3       3
                       x(t) =
                            − t − cos 2t + sin 2t.
                          4 4     4       8
äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌ ÄÌÑ Y (p).
                            3(p − 1)         1                      1
            Y (p) =                      −       ,                      → sin t.
                      p2 (p2 + 1)(p2 + 4) p2 + 1                 p2 + 1
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
                                            3(p − 1)
                           Y1(p) =                        .
                                     p2(p2   + 1)(p2 + 4)

Страницы