Операционное исчисление. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ 19
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ Y
1
(p) × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ É ÎÁÊÄÅÍ ÎÅÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ.
Y
1
(p) =
A
p
+
B
p
2
+
Cp + D
p
2
+ 1
+
Lp + M
p
2
+ 4
.
3(p −1) = Ap(p
2
+ 1)(p
2
+ 4) + B(p
2
+ 1)(p
2
+ 4)+
+ (Cp + D)p
2
(p
2
+ 4) + (Lp + M)p
2
(p
2
+ 1).
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ p, ÐÏÌÕ-
ÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×.
A + C + L = 0,
B + D + M = 0,
5A + 4C + L = 0,
5B + 4D + M = 0,
4A = 3,
4B = −3.
=⇒
A =
3
4
, B = −
3
4
,
C = −1, D = 1,
L =
1
4
, M = −
1
4
.
Y (p) = Y
1
(p) −
1
p
2
+ 1
=
=
3
4
·
1
p
−
3
4
·
1
p
2
−
p
p
2
+ 1
+
1
p
2
+ 1
+
1
4
·
p
p
2
+ 4
−
1
4
·
1
p
2
+ 4
−
1
p
2
+ 1
=
=
3
4
·
1
p
−
3
4
·
1
p
2
−
p
p
2
+ 1
+ +
1
4
·
p
p
2
+ 4
−
1
4
·
1
p
2
+ 4
.
y(t) =
3
4
−
3
4
t − cos t +
1
4
cos 2t −
1
8
sin 2t.
îÁÊÄÅÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌ ÄÌÑ Z(p).
Z(p) =
p
p
2
+ 1
,
p
p
2
+ 1
→ cos t, z(t) = cos t.
éÔÁË, ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ:
x(t) =
3
4
−
3
4
t −
3
4
cos 2t +
3
8
sin 2t,
y(t) =
3
4
−
3
4
t − cos t +
1
4
cos 2t −
1
8
sin 2t,
z(t) = cos t.
§5. úÁÄÁÞÁ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ                                            19

ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ Y1(p) × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ É ÎÁÊÄÅÍ ÎÅÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ.
                               A B Cp + D Lp + M
                    Y1 (p) =    + + 2    + 2     .
                               p p2 p +1   p +4


 3(p − 1) = Ap(p2 + 1)(p2 + 4) + B(p2 + 1)(p2 + 4)+
                                   + (Cp + D)p2 (p2 + 4) + (Lp + M )p2 (p2 + 1).

ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ p, ÐÏÌÕ-
ÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×.
      
      
          A + C + L = 0,
          B + D + M = 0,
      
                                          A = 43 , B = − 43 ,
      
      
      
         5A + 4C + L = 0,
      
                                 =⇒       C = −1, D = 1,
        5B + 4D + M   =    0,
                                          L = 14 , M = − 41 .
      
      
                  4A = 3,
      
      
      
      
                 4B = −3.


             1
 Y (p) = Y1(p) − =
          p2 + 1
    3 1 3 1       p       1  1    p   1   1      1
   = · − · 2− 2       + 2   + · 2   − · 2    − 2   =
    4 p 4 p     p +1 p +1 4 p +4 4 p +4 p +1
                    3 1 3 1      p     1   p   1   1
                  = · − · 2− 2      ++ · 2   − · 2   .
                    4 p 4 p    p +1    4 p +4 4 p +4

                            3 3           1        1
                   y(t) =    − t − cos t + cos 2t − sin 2t.
                            4 4           4        8
  îÁÊÄÅÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌ ÄÌÑ Z(p).
                           p           p
               Z(p) =          ,           → cos t,      z(t) = cos t.
                        p2 + 1      p2 + 1
éÔÁË, ÐÏÌÕÞÉÌÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ:

                   x(t) = 43 − 34 t − 43 cos 2t + 83 sin 2t,
                   y(t) = 43 − 43 t − cos t + 14 cos 2t − 18 sin 2t,
                   z(t) = cos t.

Страницы