Динамическая модель спроса и потребления на конкурентном рынке. Методические указания. Орехова Р.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

10
(
)
(
)
P
P
t
b
P
P
t
a
X
X
t
−
−
=−=−
1
11
.
Положим
X
t
X
X
t
∗
=− и
t
P
P
t
P
−=
∗
, получим
P
t
b
P
t
a
X
t
∗∗∗
−
==
1
11
. (11)
Уравнения (11) описывают отклонения от уровней равнове-
сия и аналогичны (9).
Имеем разностное уравнение первого порядка (одноинтер-
вальное отставание).
Положим
ab
c
11
=
и, подставив его в (11), получим:
P
c
P
ti
∗∗
−
=
1
, где с<0. (12)
Здесь используются конечные разности
назад. Напомним,
что в общем случае конечные разности назад имеют вид:
∇ y
k
= f (x
k
) – f (x
k-1
).
Продолжим рассмотрение уравнения (12). Имеем начальные
условия. При
t = 0 цена равна P
t
*
= P
0
.
Полученное разностное уравнение содержит
P
t
*
и значение
этой переменной на год раньше, то есть
P
t-1
*
. В данном случае ар-
гумент
t явно не входит в разностное уравнение.
Частное решение разностного уравнения есть явная функ-
ция, определённая при
t = 0, 1, 2, … и удовлетворяющая как само-
му уравнению, так и начальным условиям.
Итеративным путём получаем:
P
0
*
= P
0
; t = 0;
P
1
*
= сP
0
*
= сP
0
; t = 1;
P
2
*
= сP
1
*
= с ⋅ сP
0
= с
2
P
0
; t = 2;
……………………………………….
То есть решение имеет вид:
c
t
PP
t
0
=
∗
или
11
(
)
c
t
P
P
P
P
t
−+=
∗
0
.
Положим
(
)
.0
11
>−==
ab
cr Откуда
()
r
t
t
PP
t
1
0
−
=
∗
,
а последовательность цен запишется
,...,,,
3
0
2
000
rPrP
r
PP
−−
Чередование знаков соответствует тому, что точки
A
i
в
рассматриваемом случае располагаются выше и ниже точки равно-
весия.
Условием того, что последовательность цен сходится к рав-
новесной цене
P
при t →
∞
служат неравенства:
-1< r <1;
r
<
1.
Организуя вычислительный процесс, следует учитывать, что
точного попадания в точку равновесия может не случиться. Поэто-
му будем считать, что процесс сошёлся, если
ε
<
−
−
∗∗
P
t
P
t
1
,
где
ε
> 0 бесконечно мало.
Графический анализ паутинообразной модели даёт возмож-
ность показать, как цена
P
t
будет меняться при наличии дефицита
и перепроизводства.
Таблица 1. Рыночное равновесие.
Рыночная
ситуация
Рыночная цена
Соотношение между объёмами
спроса и предложения
Равновесие Равновесная А
D
= А
S
Дефицит Повышается А
D
> А
S
Перепроизводство Понижается А
D
< А
S
10                                                                                                                                            11
                      (         ) (         )
       X t − X = a1 P t − P = b1 P t − 1 − P .                                               (
                                                                                P t∗ = P + P 0 − P ct .  )
      Положим X t − X = X t∗ и          P t − P = P ∗t , получим                Положим r = c = b1 (− a1) > 0. Откуда

                                                                                P t∗ = P 0 (− 1) r t ,
                                                                                                t
       X t∗ = a1 P t∗ = b1 P t∗ − 1 .                              (11)         а последовательность цен запишется
       Уравнения (11) описывают отклонения от уровней равнове-
сия и аналогичны (9).                                                            P 0 ,− P 0 r, P 0 r ,− P 0 r ,...
                                                                                                    2        3

       Имеем разностное уравнение первого порядка (одноинтер-                    Чередование знаков соответствует тому, что точки Ai в
вальное отставание).                                                      рассматриваемом случае располагаются выше и ниже точки равно-
       Положим c = b1 a1 и, подставив его в (11), получим:                весия.
                                                                                 Условием того, что последовательность цен сходится к рав-
        ∗       ∗
      P i = c P t −1 , где с<0.                                    (12)   новесной цене P при                 t → ∞ служат неравенства:

       Здесь используются конечные разности назад. Напомним,                    -1< r <1;        r < 1.
что в общем случае конечные разности назад имеют вид:
                                                                                Организуя вычислительный процесс, следует учитывать, что
      ∇ yk = f (xk) – f (xk-1).                                           точного попадания в точку равновесия может не случиться. Поэто-
       Продолжим рассмотрение уравнения (12). Имеем начальные             му будем считать, что процесс сошёлся, если
условия. При t = 0 цена равна Pt* = P0.
       Полученное разностное уравнение содержит Pt* и значение
этой переменной на год раньше, то есть Pt-1*. В данном случае ар-                P t∗ − P t∗ − 1 < ε ,
гумент t явно не входит в разностное уравнение.                                 где ε > 0 бесконечно мало.
       Частное решение разностного уравнения есть явная функ-
ция, определённая при t = 0, 1, 2, … и удовлетворяющая как само-                 Графический анализ паутинообразной модели даёт возмож-
му уравнению, так и начальным условиям.                                   ность показать, как цена Pt будет меняться при наличии дефицита
       Итеративным путём получаем:                                        и перепроизводства.

      P0* = P0;                  t = 0;                                         Таблица 1. Рыночное равновесие.
      P1* = сP0*= сP0;            t = 1;
         *        *         2
      P2 = сP1 = с ⋅ сP0 = с P0;    t = 2;                                    Рыночная
                                                                                                 Рыночная цена
                                                                                                                 Соотношение между объёмами
      ……………………………………….                                                        ситуация                               спроса и предложения
      То есть решение имеет вид:                                          Равновесие               Равновесная              АD = АS
                                                                          Дефицит                  Повышается               АD > АS
      P t∗ = P 0 ct или                                                   Перепроизводство         Понижается               АD < АS

Страницы