Основы страхования. Орлов В.П. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

K
K
K K(x)
K(x)
P (K(x) = k) =
k
p
x
q
x+k
, k = 0, 1 . . . , .
v
1 t = 0, 1, . . . , K(x)
t = 0
¨
Y
¨
Y
x
= 1 + . . . + v
K
= ¨a
K+1|
.
¨a
x
¨a
x
= E
¨
Y
x
= E¨a
K(x)+1|
=
+∞
X
k=0
¨a
k+1|
k
p
x
q
x+k
.
¨a
x
¨
Y
x
=
+∞
X
k=0
v
k
I
{K(x)≥k}
.
I
{K(x)≥k}
=
(
1, K(x) ≥ k,
0, K(x) < k
K(x) ≥ k
EI
{K(x)≥k}
= P
x
(K(x) ≥ k) =
k
p
x
,
¨a
x
= E
¨
Y
x
=
+∞
X
k=0
v
k
EI
{K(x)≥k}
=
+∞
X
k=0
v
k
k
p
x
,
                                       31 


ðèè ïëàòåæåé, äëèòåëüíîñòü êîòîðûõ îãðàíè÷åíà íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíîé K . Åñëè ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñâÿçàíà ñ ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ
æèçíè, òî ðåíòû, îãðàíè÷åííûå ñðîêîì K , áóäåì íàçûâàòü ïîæèçíåííûìè.
 êà÷åñòâå K âîçüìåì K(x) - äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó - îêðóã-
ëåííîå îñòàòî÷íîå âðåìÿ æèçíè. Íàïîìíèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû K(x) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

                P (K(x) = k) = k px qx+k ,               k = 0, 1 . . . , .      (8.1.1)

  Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå âèäû ïîæèçíåííûõ ðåíò. Êàê îáû÷íî, ïðåäïîëî-
æèì íàëè÷èå ñëîæíîãî áàíêîâñêîãî ïðîöåíòà ñ êîýôôèöèåíòîì äèñêîíòè-
ðîâàíèÿ v .

8.2 Ïðÿìîé ïîæèçíåíûé àííóèòåò
     Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïðÿìûì ïîæèçíåííûì àííóèòåòîì íàçûâàåòñÿ
ñåðèÿ âûïëàò ðàçìåðîì 1, ïðîèçâîäèìûõ â ìîìåíòû t = 0, 1, . . . , K(x).
 Ïðèâåäåííàÿ ê t = 0 ñòîèìîñòü Ÿ àííóèòåòà åñòü

                        Ÿx = 1 + . . . + v K = äK+1| .                         (8.2.1)

 Ïðèâåäåííàÿ ñòîèìîñòü äx àííóèòåòà â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ êàê
                                                  +∞
                                                  X
                äx = E Ÿx = EäK(x)+1| =              äk+1| k px qx+k .       (8.2.2)
                                                  k=0

Òó æå âåëè÷èíó äx ìîæíî âûðàçèòü ïî-äðóãîìó, çàïèñàâ (8.2.1) â âèäå
                                      +∞
                                      X
                           Ÿx =            v k I{K(x)≥k} .                      (8.2.3)
                                      k=0

Çäåñü                                  (
                                            1, K(x) ≥ k,
                      I{K(x)≥k} =
                                            0, K(x) < k
èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñîáûòèÿ K(x) ≥ k . Òàê êàê

                    EI{K(x)≥k} = Px (K(x) ≥ k) = k px ,                          (8.2.4)

òî
                                +∞
                                X                             +∞
                                                              X
                                       k
                äx = E Ÿx =         v EI{K(x)≥k} =                v k k px ,
                                k=0                           k=0

Страницы