Основы страхования. Орлов В.П. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

EX X(ω)
EX = b
1
p
1
+ b
2
p
2
.
Ω ω
1
ω
2
X(ω
1
) = b
1
X(ω
2
) = b
2
ω
1
p
1
ω
2
p
2
X(ω)
Ω P
Σ σ Ω
X(ω) EX =
R
Ω
X(ω)dP (ω)
σ Σ
X(ω)
Ω
i
= {ω
1
, ..., ω
n
i
} Ω
i
ω
k
∈ Ω
i
p
i
(ω
k
) X
i
X
i
(ω
k
) = b
k,i
EX
i
=
P
n
i
k=1
b
k,i
P
i
(ω
k
) X(ω) σ Σ
¯p
i
= EX
i
i
i
X
i
(ω) ¯p
i
U =
P
N
i=1
¯p
i
N
Ω = {w}
ω
i
P (ω
i
) ≥ 0 Σ
∞
i=1
P (ω
i
) = 1
A Ω
P (A) P (A) =
P
ω
i
∈A
P (ω
i
)
                                     7 


çíà÷åíèå EX ôóíêöèè X(ω) îïðåäåëÿåòñÿ êàê

                              EX = b1 p1 + b2 p2 .

 Çàìå÷àíèå.  ýòîì ïðèìåðå Ω ñîñòîèò èç äâóõ ýëåìåíòîâ: ω1 è ω2 . È
X(ω1 ) = b1 , X(ω2 ) = b2 . Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü èñõîäà ω1 ðàâíà p1 , à èñõîäà
ω2 ðàâíà p2 .
  Íà ýòîì ïðèìåðå âèäíî, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ X(ω) â
îáùåì ñëó÷àå íà Ω íàäî çàäàòü âåðîÿòíîñòü P , ÷èñëîâóþ âåëè÷èíó, îïðåäå-
ë¼ííóþ íà íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè Σ (σ -àëãåáðå) ïîäìíîæåñòâ Ω.  ýòîì
                                                              R
ñëó÷àå ñðåäíåå çíà÷åíèå û X(ω) îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì EX = X(ω)dP (ω) ,
                                                                Ω
ãäå èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ â Ëåáåãîâñêîì ñìûñëå. Íàïîìíèì, ÷òî ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ èçìåðèìàÿ (îòíîñèòåëüíî (σ -àëãåáðû Σ) ôóíêöèÿ
X(ω).
   Ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà Ωi = {ω1 , ..., ωni } (ò. å. Ωi  êîíå÷íûå
ìíîæåñòâà) ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àé ωk ∈ Ωi ïðîèñõîäèò ñ âå-
ðîÿòíîñòüþ pi (ωk ). Òîãäà äëÿ ôóíêöèè Xi : Xi (ωk ) = bk,i ñðåäíåå çíà÷åíèå
        P ni
EXi = k=1    bk,i P i (ωk ). Ïðè ýòîì îá èçìåðèìîñòè X(ω), σ - àëãåáðå Σ, èíòå-
ãðàëàõ Ëåáåãà ãîâîðèòü íå ïðèõîäèòñÿ, ÷òî óïðîùàåò èçëîæåíèå. Âåëè÷èíà
p̄i = EXi íàçûâàåòñÿ íåòòî-ïðåìèåé ïî äîãîâîðó i.
   Òàêèì îáðàçîì, êîìïàíèÿ, çàêëþ÷èâ äîãîâîð ñ êëèåíòîì i î âûïëàòå
                                                       P
Xi (ω) â îáìåí íà ïðåìèþ p̄i , ñîáèðàåò êàïèòàë U = N    i=1 p̄i , ãäå N - ÷èñëî
êëèåíòîâ, è ñîáèðàåòñÿ íà÷èíàòü âûïëàòû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òàê ðàçóìíî
óñòðîåííàÿ êîìïàíèÿ ïðîãîðèò ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ. Íèæå ìû çàéì¼ì-
ñÿ âûÿñíåíèåì ïðè÷èí ýòîãî. Äëÿ ýòîãî ìû äàäèì òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ, ïî-
ñòðîèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ñòðàõîâîãî äåëà è ïðîâåä¼ì êîëè÷åñòâåí-
íûé àíàëèç ýòîãî äåëà. Äëÿ ýòîãî íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.


2 Íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ïóñòü Ω = {w}  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû.
Ïóñòü äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà ωi (èñõîäà) ýòîãî ìíîæåñòâà îïðåäåëåíî ÷èñëî
P (ωi ) ≥ 0, íàçûâàåìîå âåðîÿòíîñòüþ ýòîãî ýëåìåíòà, òàê ÷òî Σ∞
                                                              i=1 P (ωi ) = 1.
Îïðåäåëèì äëÿ êàæäîãî ïîäìíîæåñòâà A (ñîáûòèÿ) èç Ω åãî âåðîÿòíîñòü
                          P
P (A) ôîðìóëîé P (A) = ωi ∈A P (ωi ).

Страницы