ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
где a
m
l
— коэффициенты Фурье в разложении функции
bu
0
(r,θ,ϕ) =
P
∞
l=0
P
l
m=−l
a
m
l
b
Y
m
l
(θ,ϕ) по сферической си-
стеме (59).
Вторым условием, позволяющим однозначно определить
каждую из функций bu
m
l
(ρ), является условие стремления к
нулю на ∞:
bu
m
l
(ρ) → 0 при ρ → ∞.
В самом деле, используя выражение (86), можем получить
оценку, аналогичную (87), с заменой постоянной M на функ-
цию M(ρ) = max
θ,ϕ
|bu(ρ,θ,ϕ)|. В силу условия (88) M (ρ) → 0, а
вместе с этим и |bu
m
l
(ρ)| → 0 при ρ → ∞. Использование этого
условия в представлении (82) общего решения уравнения (80)
позволяет однозначно определить первый коэффициент: c
m
1;l
=0.
Обращаясь к граничному условию (90), однозначно опреде-
ляем и c
m
2;l
и в результате приходим к следующей формуле (в
сферической системе) для решения внешней задачи Дирихле:
bu(ρ,θ,ϕ) =
∞
X
l=0
l
X
m=−l
a
m
l
r
ρ
l+1
b
Y
m
l
(θ,ϕ).
Можно показать, что при условии непрерывности гранич-
ной функции, которая задаётся, во всех рассматриваемых слу-
чаях получающиеся для решения ряды (76) сходятся, причём
со всеми производными равномерно во всякой подобласти, ко-
торая с замыканием содержится в исходной области Ω, и дают
классическое решение задачи Дирихле из C
∞
(Ω)∩C(Ω) (с ус ло-
вием (88) в случае внешней задачи).
52
где am l — коэффициенты Фурье в разложении функции
P∞ Pl m bm
u
b0 (r,θ,ϕ) = l=0 m=−l al Yl (θ,ϕ) по сферической си-
стеме (59).
Вторым условием, позволяющим однозначно определить
каждую из функций u bm
l (ρ), является условие стремления к
нулю на ∞:
bm
u l (ρ) → 0 при ρ → ∞.
В самом деле, используя выражение (86), можем получить
оценку, аналогичную (87), с заменой постоянной M на функ-
цию M (ρ) = max |b
u(ρ,θ,ϕ)|. В силу условия (88) M (ρ) → 0, а
θ,ϕ
вместе с этим и |bum
l (ρ)| → 0 при ρ → ∞. Использование этого
условия в представлении (82) общего решения уравнения (80)
позволяет однозначно определить первый коэффициент: cm 1;l =0.
Обращаясь к граничному условию (90), однозначно опреде-
ляем и cm
2;l и в результате приходим к следующей формуле (в
сферической системе) для решения внешней задачи Дирихле:
∞ X l l+1
m r
X
u
b(ρ,θ,ϕ) = al Yblm (θ,ϕ).
ρ
l=0 m=−l
Можно показать, что при условии непрерывности гранич-
ной функции, которая задаётся, во всех рассматриваемых слу-
чаях получающиеся для решения ряды (76) сходятся, причём
со всеми производными равномерно во всякой подобласти, ко-
торая с замыканием содержится в исходной области Ω, и дают
классическое решение задачи Дирихле из C ∞ (Ω)∩C(Ω) (с усло-
вием (88) в случае внешней задачи).
52
