Сферические функции. Пальцев Б.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где a
m
l
— коэффициенты Фурье граничной функции bu
0
(R,θ,ϕ)
по сферической системе (59).
Действуя как и для случая сферического слоя, приходим
для каждого l = 0,1,2, . . . и каждого |m| 6 l к уравнению (80) и
одному граничному условию
bu
m
l
(R) = a
m
l
. (85)
Но общее решение уравнения (80) имеет вид (82) и зависит от
двух постоянных c
m
1;l
и c
m
2;l
. Нужно ещё одно условие на bu
m
l
(ρ),
чтобы однозначно определить эти две постоянные.
Таким вторым условием является условие ограниченности
функции bu
m
l
(ρ) при ρ → 0. Покажем это. Поскольку решение
u(x) заведомо принадлежит C(Ω), то оно ограничено в Ω (в
силу теоремы Вейерштрасса), т.е. существует такая постоян-
ная M > 0, что
|bu(ρ,θ,ϕ)| 6 M ∀ρ,θ ,ϕ, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π.
Функции bu
m
l
(ρ) являются коэффициентами Фурье по сфериче-
ской системе функций bu(ρ,θ,ϕ) при каждом фиксированном ρ. В
силу формулы (73) для коэффициентов Фурье и формулы (16)
для скалярного произведения имеем
bu
m
l
(ρ) =
1
(
b
Y
m
l
,
b
Y
m
l
)
S
1
Z
2π
0
dϕ
Z
π
0
bu(ρ,θ,ϕ)
b
Y
m
l
(θ,ϕ) sin θ dθ. (86)
Но функция
b
Y
m
l
(θ,ϕ) является ограниченной при 0 6 θ 6 π,
0 6 ϕ 6 2π, т.е. |
b
Y
m
l
(θ,ϕ)| 6 M
m
l
— некоторая постоянная.
Поэтому при всех ρ : 0 < ρ 6 R мы можем оценить
|bu
m
l
(ρ)| 6 M · M
m
l
1
(
b
Y
m
l
,
b
Y
m
l
)
S
1
Z
2π
0
dϕ
Z
π
0
sin θ dθ =
=
4πMM
m
l
(
b
Y
m
l
,
b
Y
m
l
)
S
1
. (87)
50
где am
     l — коэффициенты Фурье граничной функции u         b0 (R,θ,ϕ)
по сферической системе (59).
   Действуя как и для случая сферического слоя, приходим
для каждого l = 0,1,2, . . . и каждого |m| 6 l к уравнению (80) и
одному граничному условию
                             bm
                             u          m
                               l (R) = al .                     (85)
Но общее решение уравнения (80) имеет вид (82) и зависит от
двух постоянных cm       m                               bm
                  1;l и c2;l . Нужно ещё одно условие на u l (ρ),
чтобы однозначно определить эти две постоянные.
   Таким вторым условием является условие ограниченности
функции ubm
          l (ρ) при ρ → 0. Покажем это. Поскольку решение
u(x) заведомо принадлежит C(Ω), то оно ограничено в Ω (в
силу теоремы Вейерштрасса), т.е. существует такая постоян-
ная M > 0, что
       |b
        u(ρ,θ,ϕ)| 6 M       ∀ ρ,θ,ϕ, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π.
Функции u   bm
             l (ρ) являются коэффициентами Фурье по сфериче-
ской системе функций u  b(ρ,θ,ϕ) при каждом фиксированном ρ. В
силу формулы (73) для коэффициентов Фурье и формулы (16)
для скалярного произведения имеем
                        Z 2π    Z π
                  1
  bm
  u l (ρ) =                  dϕ     b(ρ,θ,ϕ)Yblm (θ,ϕ) sin θ dθ. (86)
                                    u
                m   m
             (Yl ,Yl )S1 0
              b   b              0

Но функция Yblm (θ,ϕ) является ограниченной при 0 6 θ 6 π,
0 6 ϕ 6 2π, т.е. |Yblm (θ,ϕ)| 6 Mlm — некоторая постоянная.
Поэтому при всех ρ : 0 < ρ 6 R мы можем оценить
                                          Z 2π    Z π
                                  1
      um
     |bl (ρ)| 6 M   · M  m
                         l                     dϕ     sin θ dθ =
                           (Yblm ,Yblm )S1 0       0
                  4πM Mlm
              =                 .                                (87)
                (Yb m ,Yb m )S
                    l   l      1




50

Страницы