Сферические функции. Пальцев Б.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(они — функции только θ и ϕ) в ряды Фурье по сферической
системе (59):
bu
1
(r,θ,ϕ) =
∞
X
l=0
l
X
m=−l
a
m
1;l
b
Y
m
l
(θ,ϕ),
bu
2
(R,θ,ϕ) =
∞
X
l=0
l
X
m=−l
a
m
2;l
b
Y
m
l
(θ,ϕ).
(79)
В общем случае коэффициенты Фурье a
m
1;l
и a
m
2;l
можно найти
по формуле (73). Во всяком случае мы их считаем известными
величинами.
Обращаясь к соотношению (77), заключаем (в силу орто-
гональности сферических функций), что все коэффициенты в
нём при сферических гармониках обращаются в нуль при всех
ρ : r < ρ < R. Кроме того, подставляя разложения (79) ещё и в
правые части равенств (78) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых сферических гармониках, приходим к следующей
счётной системе уже несвязанных между собой краевых задач
для коэффициентов Фурье bu
m
l
(ρ):
d
dρ
2
bu
m
l
(ρ) +
2
ρ
d
dρ
bu
m
l
(ρ) −
l(l + 1)
ρ
2
bu
m
l
(ρ) = 0, r < ρ < R, (80)
bu
m
l
(r) = a
m
1;l
, bu
m
l
(R) = a
m
2;l
, l = 0,1,2, . . . , |m| 6 l. (81)
Каждая такая задача имеет единственное решение. В са-
мом деле, т.к. уравнение (80) — однородное уравнение Эйлера,
линейно независимые решения следует искать в виде bu
m
l
(ρ) =
= ρ
µ
. Подставляя эту функцию в уравнение, приходим к ква-
дратному уравнению для µ:
µ(µ + 1) − l(l + 1) = 0.
Последнее уравнение имеет два решения µ
1
= l, µ
2
= −(l + 1).
Поэтому
bu
m
l
(ρ) = c
m
1;l
ρ
l
+ c
m
2;l
ρ
−(l+1)
, (82)
48
(они — функции только θ и ϕ) в ряды Фурье по сферической
системе (59):
                                 ∞ X
                                 X l
                  u
                  b1 (r,θ,ϕ) =              am   bm
                                             1;l Yl (θ,ϕ),
                                 l=0 m=−l
                                                                   (79)
                                 ∞ X
                                 X l
                 u
                 b2 (R,θ,ϕ) =               am   bm
                                             2;l Yl (θ,ϕ).
                                 l=0 m=−l
В общем случае коэффициенты Фурье am           m
                                        1;l и a2;l можно найти
по формуле (73). Во всяком случае мы их считаем известными
величинами.
    Обращаясь к соотношению (77), заключаем (в силу орто-
гональности сферических функций), что все коэффициенты в
нём при сферических гармониках обращаются в нуль при всех
ρ : r < ρ < R. Кроме того, подставляя разложения (79) ещё и в
правые части равенств (78) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых сферических гармониках, приходим к следующей
счётной системе уже несвязанных между собой краевых задач
для коэффициентов Фурье u  bm
                            l (ρ):
   d m          2 d m         l(l + 1) m
     2
       u
       bl (ρ) +      bl (ρ) −
                     u                 u
                                       bl (ρ) = 0, r < ρ < R, (80)
  dρ            ρ dρ             ρ2
   bm
   u           m
                    bm
     l (r) = a1;l , u
                                m
                      l (R) = a2;l , l = 0,1,2, . . . , |m| 6 l.    (81)
   Каждая такая задача имеет единственное решение. В са-
мом деле, т.к. уравнение (80) — однородное уравнение Эйлера,
линейно независимые решения следует искать в виде u            bml (ρ) =
   µ
= ρ . Подставляя эту функцию в уравнение, приходим к ква-
дратному уравнению для µ:
                       µ(µ + 1) − l(l + 1) = 0.
Последнее уравнение имеет два решения µ1 = l, µ2 = −(l + 1).
Поэтому
                                     m −(l+1)
                 bm
                 u          m l
                   l (ρ) = c1;l ρ + c2;l ρ    ,         (82)


48

Страницы