Сферические функции. Пальцев Б.В. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где c
m
1;l
и c
m
2;l
— некоторые постоянные, которые нужно опре-
делить из граничных условий (81). Используя эти граничные
условия, приходим для каждого l и каждого m к следующей
системе 2-х уравнений для c
m
1;l
и c
m
2;l
:
r
l
c
m
1;l
+ r
−(l+1)
c
m
2;l
= a
m
1;l
,
R
l
c
m
1;l
+ R
−(l+1)
c
m
2;l
= a
m
2;l
.
(83)
Определитель этой системы отличен от нуля:
δ
l
=
r
l
r
−(l+1)
R
l
R
−(l+1)
= −
R
l
r
l+1
1 −
r
R
2l+1
< 0,
поскольку 0 <
r
R
< 1. Решая системы (83), находим постоян-
ные c
m
1;l
и c
m
2;l
, далее по формуле (82) функции bu
m
l
(ρ), а затем по
формуле (76) и решение задачи Дирихле (74), (75) в шаровом
слое.
Перейдём, наконец, к рассмотрению задачи Дирихле ещё в
шаре и вне шара.
Задача Дирихле в шаре радиуса R > 0
Формулировка задачи изменится следующим образом. В
уравнении (74) областью Ω является шар |x| < R, а граничные
условия (75) заменятся на одно условие
u|
Γ
= u
0
(x), Γ = ∂Ω = {x : |x| = R}. (84)
Решение u этой задачи, выраженное в сферической системе
опять мысленно разлагаем при каждом фиксированном ρ, 0 <
< ρ < R, в ряд Фурье (76) по сферическим функциям. Вместо
граничных условий (78) с (79) имеем одно граничное условие
∞
X
l=0
l
X
m=−l
bu
m
l
(R)
b
Y
m
l
(θ,ϕ) = bu
0
(R,θ,ϕ) =
∞
X
l=0
l
X
m=−l
a
m
l
b
Y
m
l
(θ,ϕ),
49
где cm      m
     1;l и c2;l — некоторые постоянные, которые нужно опре-
делить из граничных условий (81). Используя эти граничные
условия, приходим для каждого l и каждого m к следующей
системе 2-х уравнений для cm       m
                            1;l и c2;l :
                                   −(l+1) m
                       rl cm
                           1;l + r       c2;l = am
                                                 1;l ,
                                  −(l+1) m
                                                                      (83)
                      Rl cm
                          1;l + R       c2;l = am
                                                2;l .

   Определитель этой системы отличен от нуля:
           rl r−(l+1)        Rl
                                       r 2l+1 
      δl =              = −        1 −             < 0,
           Rl R−(l+1)       rl+1        R
                  r
поскольку 0 < R < 1. Решая системы (83), находим постоян-
ные cm       m                                   bm
      1;l и c2;l , далее по формуле (82) функции u l (ρ), а затем по
формуле (76) и решение задачи Дирихле (74), (75) в шаровом
слое.
   Перейдём, наконец, к рассмотрению задачи Дирихле ещё в
шаре и вне шара.
       Задача Дирихле в шаре радиуса R > 0
   Формулировка задачи изменится следующим образом. В
уравнении (74) областью Ω является шар |x| < R, а граничные
условия (75) заменятся на одно условие
               u|Γ = u0 (x), Γ = ∂Ω = {x : |x| = R}.                  (84)
Решение u этой задачи, выраженное в сферической системе
опять мысленно разлагаем при каждом фиксированном ρ, 0 <
< ρ < R, в ряд Фурье (76) по сферическим функциям. Вместо
граничных условий (78) с (79) имеем одно граничное условие
  ∞ X
  X l                                            ∞ X
                                                 X l
             bm
             u      bm
               l (R)Yl (θ,ϕ)   =u
                                b0 (R,θ,ϕ) =                am bm
                                                             l Yl (θ,ϕ),
  l=0 m=−l                                       l=0 m=−l



                                                                       49

Страницы