ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Таким образом, ограниченность bu
m
l
(ρ) на (0,R] установлена.
Обратимся теперь к формуле (82) для bu
m
l
(ρ). Если бы ко-
эффициент c
m
2;l
не обращался бы в нуль, тогда, поскольку −(l +
+ 1) 6 −1, l > 0, мы бы имели, что bu
m
l
(ρ) → ∞ при ρ → 0,
что противоречит только что установленной ограниченности
функции bu
m
l
(ρ). Поэтому
bu
m
l
(ρ) = c
m
1;l
ρ
l
.
Подставляя это выражение в граничное условие (85), опреде-
ляем постоянную c
m
1;l
:
c
m
1;l
=
a
m
l
R
l
.
Окончательно приходим к следующему выражению для реше-
ния задачи Дирихле в шаре (в сферической системе)
bu(ρ,θ,ϕ) =
∞
X
l=0
l
X
m=−l
a
m
l
ρ
R
l
·
b
Y
m
l
(θ,ϕ).
Задача Дирихле во внешности шара радиуса r > 0
В уравнении (74) областью Ω теперь является множество
Ω = {x : |x| > r}. При этом ищется решение u(x), стремящееся
к нулю на бесконечности
u(x) → 0 при |x| → ∞ (88)
и удовлетворяющее граничному условию
u|
Γ
= u
0
(x), Γ = ∂Ω = {x : |x| = r}. (89)
Совершенно аналогично уже рассмотренным случаям полу-
чаем, что решение этой задачи имеет представление (в сфери-
ческой системе) (76), где коэффициенты bu
m
l
(ρ) являются реше-
ниями на полубесконечном интервале (r, + ∞) уравнений (80)
и удовлетворяют граничному условию
bu
m
l
(r) = a
m
l
, (90)
51
Таким образом, ограниченность u bm
l (ρ) на (0,R] установлена.
Обратимся теперь к формуле (82) для u bm
l (ρ). Если бы ко-
m
эффициент c2;l не обращался бы в нуль, тогда, поскольку −(l +
+ 1) 6 −1, l > 0, мы бы имели, что u bm
l (ρ) → ∞ при ρ → 0,
что противоречит только что установленной ограниченности
bm
функции u l (ρ). Поэтому
bm
u m l
l (ρ) = c1;l ρ .
Подставляя это выражение в граничное условие (85), опреде-
ляем постоянную cm1;l :
am
cm
1;l = l
.
Rl
Окончательно приходим к следующему выражению для реше-
ния задачи Дирихле в шаре (в сферической системе)
∞ X
X l ρ l
u
b(ρ,θ,ϕ) = am
l · Yblm (θ,ϕ).
R
l=0 m=−l
Задача Дирихле во внешности шара радиуса r > 0
В уравнении (74) областью Ω теперь является множество
Ω = {x : |x| > r}. При этом ищется решение u(x), стремящееся
к нулю на бесконечности
u(x) → 0 при |x| → ∞ (88)
и удовлетворяющее граничному условию
u|Γ = u0 (x), Γ = ∂Ω = {x : |x| = r}. (89)
Совершенно аналогично уже рассмотренным случаям полу-
чаем, что решение этой задачи имеет представление (в сфери-
bm
ческой системе) (76), где коэффициенты u l (ρ) являются реше-
ниями на полубесконечном интервале (r, + ∞) уравнений (80)
и удовлетворяют граничному условию
bm
u m
l (r) = al , (90)
51
