Сферические функции. Пальцев Б.В. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где Γ
1
= {x : |x| = r} и Γ
2
= {x : |x| = R} — внутренняя и
внешняя компоненты границы шарового слоя Ω, u
1
(x) и u
2
(x)
— заданные, например, непрерывные функции на Γ
1
и Γ
2
со-
ответственно.
Обозначим, как и выше, через bu(ρ,θ,ϕ) выражение решения
задачи в сферической системе. Разложим (мысленно) bu(ρ,θ,ϕ)
при каждом фиксированном ρ в ряд Фурье по системе сфери-
ческих функций (59):
bu(ρ,θ,ϕ) =
∞
X
l=0
l
X
m=−l
bu
m
l
(ρ)
b
Y
m
l
(θ,ϕ). (76)
Подставим формально это разложение в уравнение (74), запи-
санное в сферической системе, и получим
∞
X
l=0
l
X
m=−l

d
2
dρ
2
bu
m
l
(ρ) +
2
ρ
d
dρ
bu
m
l
(ρ)
b
Y
m
l
(θ,ϕ)+
+
bu
m
l
(ρ)
ρ
2
b
∆
0
θ,ϕ
b
Y
m
l
(θ,ϕ)
=
=
∞
X
l=0
l
X
m=−l
d
2
dρ
2
bu
m
l
(ρ) +
2
ρ
d
dρ
bu
m
l
(ρ)−
−
l(l + 1)
ρ
2
bu
m
l
(ρ)
b
Y
m
l
(θ,ϕ) ≡ 0. (77)
Далее, подстановка разложения (76) в граничные условия при-
водит ещё к двум равенствам
∞
X
l=0
l
X
m=−l
bu
m
l
(r)
b
Y
m
l
(θ,ϕ) = bu
1
(r,θ,ϕ),
∞
X
l=0
l
X
m=−l
bu
m
l
(R)
b
Y
m
l
(θ,ϕ) = bu
2
(R,θ,ϕ),
(78)
где bu
1
(r,θ,ϕ) и bu
2
(R,θ,ϕ) — выражения функций u
1
(x) и u
2
(x) в
сферической системе. Разложим функции bu
1
(r,θ,ϕ) и bu
2
(R,θ,ϕ)
47
где Γ1 = {x : |x| = r} и Γ2 = {x : |x| = R} — внутренняя и
внешняя компоненты границы шарового слоя Ω, u1 (x) и u2 (x)
— заданные, например, непрерывные функции на Γ1 и Γ2 со-
ответственно.
   Обозначим, как и выше, через u
                                b(ρ,θ,ϕ) выражение решения
задачи в сферической системе. Разложим (мысленно) u b(ρ,θ,ϕ)
при каждом фиксированном ρ в ряд Фурье по системе сфери-
ческих функций (59):     ∞ X l
                         X
              u
              b(ρ,θ,ϕ) =        bm (ρ)Yb m (θ,ϕ).
                                u       l     l         (76)
                             l=0 m=−l
Подставим формально это разложение в уравнение (74), запи-
санное в сферической системе, и получим
 ∞ X   l    2                          
X             d m            2 d m
                 u
                 b (ρ) +         b (ρ) Yblm (θ,ϕ)+
                                 u
             dρ2 l           ρ dρ l
l=0 m=−l
                                               bm
                                                               
                                               u l (ρ) b 0 b m
                                             + 2 ∆θ,ϕ Yl (θ,ϕ) =
    ∞ X  l    2                                  ρ
  X            d m            2 d m
=                  u l  (ρ) +      u l (ρ)−
               dρ2
                   b               b
                              ρ dρ
   l=0 m=−l
                                       
                       l(l + 1) m
                   −           bl (ρ) Yblm (θ,ϕ) ≡ 0.
                               u                               (77)
                          ρ2
Далее, подстановка разложения (76) в граничные условия при-
водит ещё к двум равенствам
              ∞ X
              X l
                          bm
                          u      bm
                            l (r)Yl (θ,ϕ) = u
                                            b1 (r,θ,ϕ),
               l=0 m=−l
                                                              (78)
              ∞
              X   l
                  X
                         bm
                         u      bm
                           l (R)Yl (θ,ϕ) = u
                                           b2 (R,θ,ϕ),
              l=0 m=−l
где u
    b1 (r,θ,ϕ) и u
                 b2 (R,θ,ϕ) — выражения функций u1 (x) и u2 (x) в
сферической системе. Разложим функции u    b1 (r,θ,ϕ) и u
                                                        b2 (R,θ,ϕ)


                                                                47

Страницы