Сферические функции. Пальцев Б.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1. Для любой u(x) ∈ L
2
(S
1
) частичные суммы
P
N
(x) ряда Фурье функции u(x) по сферической системе (60)
X
N
(x) =
N
X
l=0
l
X
m=−l
c
m
l
Y
m
l
(x), x ∈ S
1
,
где
c
m
l
=
(u,Y
m
l
)
S
1
Y
m
l
,Y
m
l
S
1
(73)
— коэффициенты Фурье, сходятся по норме пространства
L
2
(S
1
) к функции u(x), т.е.
Z
S
1
u(x) −
X
N
(x)
2
ds → 0 при N → ∞.
Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы мы здесь не имеем
возможности привести. Результатам о поточечной с ходимости
рядов Фурье по сф ерическим функциям, а также по различным
свойствам самих сферических функций посвящена специальная
литература, см., например, [5].
§ 6. Применение сферических функций для
решения краевых задач для уравнения Лапласа
в областях со сферической симметрией
Приведём здесь общую формальную схему метода Фурье
решения таких задач. Рассмотрим сначала задачу Дирихле в
шаровом слое Ω = {x : r < |x| < R} в R
3
, r > 0, R < ∞: найти
u(x) в Ω, удовлетворяющую уравнению Лапласа
∆u(x) = 0 в Ω (74)
и граничному условию Дирихле
u|
Γ
1
= u
1
(x), u|
Γ
2
= u
2
(x), (75)
46
P Теорема 1. Для любой u(x) ∈ L2 (S1 ) частичные суммы
 N (x) ряда Фурье функции u(x) по сферической системе (60)

              X               N X
                              X l
                      (x) =              cm   m
                                          l Yl (x),   x ∈ S1 ,
                  N
                              l=0 m=−l
где
                                (u,Ylm )S1
                              cm
                               l =              (73)
                                Ylm ,Ylm S1
                                        

— коэффициенты Фурье, сходятся по норме пространства
L2 (S1 ) к функции u(x), т.е.
          Z          X        2
              u(x) −      (x) ds → 0 при N → ∞.
         S1                   N


   Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы мы здесь не имеем
возможности привести. Результатам о поточечной сходимости
рядов Фурье по сферическим функциям, а также по различным
свойствам самих сферических функций посвящена специальная
литература, см., например, [5].

   § 6. Применение сферических функций для
 решения краевых задач для уравнения Лапласа
     в областях со сферической симметрией
   Приведём здесь общую формальную схему метода Фурье
решения таких задач. Рассмотрим сначала задачу Дирихле в
шаровом слое Ω = {x : r < |x| < R} в R3 , r > 0, R < ∞: найти
u(x) в Ω, удовлетворяющую уравнению Лапласа
                              ∆u(x) = 0      вΩ                  (74)
и граничному условию Дирихле
                      u|Γ1 = u1 (x),     u|Γ2 = u2 (x),          (75)


46

Страницы