Сферические функции. Пальцев Б.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Установим далее (64) при m > 1 — целом. Используя фор-
мулу (57), интегрируя по частям, имеем
Z
1
−1
(P
m
l
(t))
2
dt =
Z
1
−1
(1 − t
2
)
m
P
(m)
l
(t)P
(m)
l
(t) dt =
= (1 − t
2
)
m
P
(m−1)
l
(t)P
(m)
l
(t)
1
−1
−
−
Z
1
−1
P
(m−1)
l
(t)
h
(1 − t
2
)
m
P
(m)
l
(t)
i
0
dt. (72)
Первое слагаемое в правой части равно нулю. Выразим
h
(1 − t
2
)
m
P
(m)
l
(t)
i
0
с помощью уравнения (53) через P
(m−1)
l
(t).
P
(m)
l
(t) в силу леммы 6 удовлетворяет уравнению (53).
Умножив это уравнение на (1 − t
2
)
m
, имеем
(1 − t
2
)
m+1
P
(m+2)
l
(t) − (m + 1)2t(1 − t
2
)
m
P
(m+1)
l
(t) =
= (m
2
+ m − l
2
− l)(1 − t
2
)
m
P
(m)
l
(t).
Отсюда
h
(1 − t
2
)
m+1
P
(m+1)
l
(t)
i
0
= −(l − m)(l + m + 1)(1 − t
2
)
m
P
(m)
l
(t).
Заменяя здесь (m + 1) на m и подставляя получившееся выра-
жение в (72), приходим к рекуррентной формуле (относительно
m):
Z
1
−1
(P
m
l
(t))
2
dt = (l + m)(l − m + 1)
Z
1
−1
P
m−1
l
(t)
2
dt.
44
   Установим далее (64) при m > 1 — целом. Используя фор-
мулу (57), интегрируя по частям, имеем
       Z   1                        Z   1
                                                            (m)            (m)
                (Plm (t))2 dt   =           (1 − t2 )m Pl         (t)Pl          (t) dt =
        −1                           −1
                                                                                   1
                                                2 m     (m−1)      (m)
                                = (1 − t )            Pl      (t)Pl (t)                 −
                                                                                   −1
                                     Z      1                h                 i0
                                                  (m−1)                    (m)
                                 −              Pl        (t) (1 − t2 )m Pl (t) dt. (72)
                                        −1


Первое
h          слагаемое
                   i0 в правой части равно нулю. Выразим
               (m)                                   (m−1)
  (1 − t2 )m Pl (t) с помощью уравнения (53) через Pl      (t).
        (m)
  Pl (t) в силу леммы 6 удовлетворяет уравнению (53).
Умножив это уравнение на (1 − t2 )m , имеем

                     (m+2)                                             (m+1)
(1 − t2 )m+1 Pl              (t) − (m + 1)2t(1 − t2 )m Pl                         (t) =
                                                                                            (m)
                                                = (m2 + m − l2 − l)(1 − t2 )m Pl                  (t).

Отсюда
h                                  i0
                       (m+1)                                          (m)
    (1 − t2 )m+1 Pl             (t) = −(l − m)(l + m + 1)(1 − t2 )m Pl (t).

Заменяя здесь (m + 1) на m и подставляя получившееся выра-
жение в (72), приходим к рекуррентной формуле (относительно
m):
       Z   1                                                       Z   1             2
                (Plm (t))2 dt   = (l + m)(l − m + 1)                        Plm−1 (t) dt.
           −1                                                       −1


44

Страницы