Сферические функции. Пальцев Б.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

и пользуясь опять формулой (65), получим тождество
(t − ρ)
∞
X
l=0
P
l
(t)ρ
l
= (1 − 2tρ + ρ
2
)
∞
X
l=0
lP
l
(t)ρ
l−1
.
Приравнивая в этом соотношении коэффициенты при одинако-
вых степенях переменной ρ, приходим к формуле (71).
Перейдём к доказательству формулы (64). Начнём со слу-
чая m = 0 (при этом P
0
l
(t) = P
l
(t)). Выражая по формуле (71)
P
l
(t) через P
l−1
(t) и P
l−2
(t) и пользуясь уже установленной ор-
тогональностью многочленов Лежандра (леммой 8), находим,
что
Z
1
−1
P
2
l
(t) dt =
(2l − 1)
l
Z
1
−1
P
l
(t)tP
l−1
(t) dt−
−
(l − 1)
l
Z
1
−1
P
l
(t)P
l−2
(t) dt =
=
(2l − 1)
l
Z
1
−1
tP
l
(t)P
l−1
(t) dt.
Теперь ещё раз воспользуемся формулой (71) и выразим tP
l
(t)
через P
l+1
(t) и P
l−1
(t). Получим
Z
1
−1
P
2
l
(t) dt =
(2l − 1)(l + 1)
(2l + 1)l
Z
1
−1
P
l+1
(t)P
l−1
(t) dt+
+
(2l − 1)
(2l + 1)
Z
1
−1
P
2
l−1
(t) dt =
=
(2l − 1)
(2l + 1)
·
Z
1
−1
P
2
l−1
(t) dt.
Наконец, воспользуемся этим рекуррентным соотношением и
тем, что
R
1
−1
P
2
0
(t) dt =
R
1
−1
dt = 2. Получим окончательно
Z
1
−1
P
2
l
(t) dt =
(2l − 1)
(2l + 1)
·
(2l − 3)
(2l − 1)
···
1
3
Z
1
−1
P
2
0
(t) dt =
2
2l + 1
.
43
и пользуясь опять формулой (65), получим тождество
                   ∞
                   X                                  ∞
                                                      X
         (t − ρ)         Pl (t)ρl = (1 − 2tρ + ρ2 )         lPl (t)ρl−1 .
                   l=0                                l=0
Приравнивая в этом соотношении коэффициенты при одинако-
вых степенях переменной ρ, приходим к формуле (71).
     Перейдём к доказательству формулы (64). Начнём со слу-
чая m = 0 (при этом Pl0 (t) = Pl (t)). Выражая по формуле (71)
Pl (t) через Pl−1 (t) и Pl−2 (t) и пользуясь уже установленной ор-
тогональностью многочленов Лежандра (леммой 8), находим,
что         Z 1
                               (2l − 1) 1
                                          Z
                 Pl2 (t) dt =                  Pl (t)tPl−1 (t) dt−
             −1                    l       −1
                                 (l − 1) 1
                                           Z
                               −                Pl (t)Pl−2 (t) dt =
                                     l      −1
                               (2l − 1) 1
                                          Z
                            =                  tPl (t)Pl−1 (t) dt.
                                   l       −1
Теперь ещё раз воспользуемся формулой (71) и выразим tPl (t)
через Pl+1 (t) и Pl−1 (t). Получим
        Z 1
                           (2l − 1)(l + 1) 1
                                             Z
            Pl2 (t) dt =                           Pl+1 (t)Pl−1 (t) dt+
         −1                   (2l + 1)l        −1
                             (2l − 1) 1 2
                                        Z
                          +                  P (t) dt =
                             (2l + 1) −1 l−1
                                       Z 1
                           (2l − 1)
                       =             ·      P 2 (t) dt.
                           (2l + 1) −1 l−1
Наконец, RвоспользуемсяR этим рекуррентным соотношением и
           1              1
тем, что −1 P02 (t) dt = −1 dt = 2. Получим окончательно
  Z 1
                  (2l − 1) (2l − 3)     1 1 2
                                         Z
        2                                                   2
      Pl (t) dt =         ·         ···      P0 (t) dt =        .
   −1             (2l + 1) (2l − 1)     3 −1             2l + 1


                                                                            43

Страницы