Сферические функции. Пальцев Б.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

условию r < R
1
< R. На ограниченном замкнутом множестве
{ξ : |ξ| = R
1
}×{t : α 6 t 6 β} функция
∂
p
∂t
p
g(ξ,t) непрерывна, а
потому (по теореме Вейерштрасса) ограничена по модулю не-
которой постоянной M
p
:
∂
p
∂t
p
g(ξ,t)
6 M
p
, |ξ| = R
1
, t ∈ [α,β].
Поэтому, пользуясь (69), можем оценить:
d
p
dt
p
a
k
(t)
=
1
2π
I
|ζ|=R
1
∂
p
∂t
p
g(ζ,t)
1
ζ
k+1
dζ
6
M
p
2πR
k+1
1
Z
|ξ|=R
1
ds =
M
p
R
k
1
.
Следовательно, члены ряда (70) можем оценить по модулю на
множестве |z| 6 r, α 6 t 6 β членами числовой последователь-
ности:
d
p
dt
p
a
k
(t)z
k
6 M
p
r
R
1
k
.
Поскольку числовой ряд M
p
P
∞
k=0
r
R
1
k
сходится при r < R
1
,
по признаку Вейерштрасса ряд (70) сходится равномерно по z
и t при |z| 6 r, t ∈ [α,β].
Перейдём к окончанию доказательства предложения 4. То,
что разложение (68) допускает почленное дифференцирование
по z, — хорошо известный результат ТФКП. То, что разложе-
ние (68) можно почленно дифференцировать и по t произволь-
ное число раз, следует из хорошо известной теоремы матема-
тического анализа, поскольку установлено, что ряды (70) для
любого p > 0 сходятся равномерно по t ∈ [α,β] (при каждом
фиксированном z : |z| < R). Предложение 4 доказано.
Вернёмся к доказательству разложения (65). Разложим
функцию (66), которая равна g(ρ,θ), где g(z,θ) определена (67),
в ряд Тейлора в точке ρ = 0:
1
p
1 − 2ρ cos θ + ρ
2
=
∞
X
l=0
a
l
(θ)ρ
l
, 0 6 ρ < 1,
41
условию r < R1 < R. На ограниченном замкнутом множестве
                                                 ∂p
{ξ : |ξ| = R1 } × {t : α 6 t 6 β} функция ∂tp g(ξ,t) непрерывна, а
потому (по теореме Вейерштрасса) ограничена по модулю не-
                            ∂p
которой постоянной Mp : ∂tp g(ξ,t) 6 Mp , |ξ| = R1 , t ∈ [α,β].
Поэтому, пользуясь (69), можем оценить:
 dp                      ∂p
                  I                                 Z
                1                    1         Mp           Mp
    p
      ak (t) =             p
                             g(ζ,t) k+1 dζ 6    k+1
                                                        ds = k .
 dt            2π |ζ|=R1 ∂t        ζ         2πR1    |ξ|=R1 R1
Следовательно, члены ряда (70) можем оценить по модулю на
множестве |z| 6 r, α 6 t 6 β членами числовой последователь-
ности:                                k
                   dp          k       r
                      p
                        ak (t)z 6 Mp        .
                   dt                  R1
                                     k
                                     r
Поскольку числовой ряд Mp ∞
                                P
                                 k=0 R    сходится при r < R1 ,
                                             1
по признаку Вейерштрасса ряд (70) сходится равномерно по z
и t при |z| 6 r, t ∈ [α,β].
    Перейдём к окончанию доказательства предложения 4. То,
что разложение (68) допускает почленное дифференцирование
по z, — хорошо известный результат ТФКП. То, что разложе-
ние (68) можно почленно дифференцировать и по t произволь-
ное число раз, следует из хорошо известной теоремы матема-
тического анализа, поскольку установлено, что ряды (70) для
любого p > 0 сходятся равномерно по t ∈ [α,β] (при каждом
фиксированном z : |z| < R). Предложение 4 доказано.
    Вернёмся к доказательству разложения (65). Разложим
функцию (66), которая равна g(ρ,θ), где g(z,θ) определена (67),
в ряд Тейлора в точке ρ = 0:
                                    ∞
                   1                X
          p                     =         al (θ)ρl , 0 6 ρ < 1,
            1 − 2ρ cos θ + ρ2       l=0


                                                                  41

Страницы