Сферические функции. Пальцев Б.В. - 39 стр.

   Для этого воспользуемся ТФКП. Рассмотрим при каждом
фиксированном θ ∈ [0,π] квадратный трёхчлен ω(z,θ) = 1 −
− 2z cos θ + z 2 = (1 − eiθ z)(1 − e−iθ z), где z — комплексная
переменная, z ∈ C. Как известно, функция
              ∞
             X    −1                α(α − 1) . . . (α − k + 1)
     h(w) =      Ck 2 wk ,    Ckα =                            ,
                                                k!
              k=0
представимая степенным рядом в правой части с радиусом
сходимости, равным 1, является
                            n     регулярной
                                         o   ветвью в круге
                                       1
|w| < 1 двузначной функции 1/(1 − w) 2 , причём такой, что
         √                         √
h(u) = 1/ 1 − u при 0 6 u < 1, где 1 − u — арифметический
корень из положительного числа.
    Поэтому функция
                      g(z,θ) = h(eiθ z) · h(e−iθ z)                  (67)
является регулярной ветвью в круге |z| < 1, при фиксиро-
ванном θ, двузначной функции 1/(1 − 2z cos θ + z 2 )1/2 такой,
                   p
что g(ρ,θ) = 1/ 1 − 2ρ cos θ + ρ2 при 0 6 ρ < 1, последний ко-
рень является корнем арифметическим из положительной ве-
личины. Действительно, g(z,θ) регулярна по z при |z| < 1,
g 2 (z,θ) = (h(eiθ z))2 (h(e−iθ z))2 = (1 − eiθ z)−1 (1 − e−iθ z)−1 = (1 −
− 2z cos θ + z 2 )−1 и для 0 6 ρ < 1 g(ρ,θ) = h(eiθ ρ) · h(e−iθ ρ) =
= h(eiθ ρ) · h(eiθ ρ) = |h(eiθ ρ)|2 > 0 (поскольку коэффициенты
            −1
Тейлора Ck 2 функции h действительные).
   Из представления (67) следует, что g(z,θ) имеет непрерыв-
ные частные производные по комплексной переменной z и по
действительной переменной θ на множестве {z : |z| < 1} ×
× {θ : 0 6 θ 6 π} (в регулярную функцию h(w) подставляются
функции, обладающие таким свойством и берётся произведе-
ние двух таких суперпозиций).
   Воспользуемся теперь следующим предложением.


                                                                       39