Сферические функции. Пальцев Б.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пусть далее l
1
= l
2
, но m
1
6= m
2
. Рассмотрим слу-
чай m
1
,m
2
> 0. Выполняя замену t = cos θ, получаем для
m
1
,m
2
> 0
(Y
m
1
l
1
,Y
m
2
l
2
)
S
1
=
Z
2π
0
cos m
1
ϕ cos m
2
ϕ dϕ×
×
Z
π
0
P
m
1
l
1
(cos θ)P
m
2
l
2
(cos θ) sin θ dθ =
=
Z
2π
0
cos m
1
ϕ cos m
2
ϕ dϕ
Z
1
−1
P
m
1
l
1
(t)P
m
2
l
2
(t) dt. (62)
Поэтому для m
1
,m
2
> 0, m
1
6= m
2
(Y
m
1
l
1
,Y
m
2
l
2
)
S
1
= 0 в
силу известного из курса математического анализа свойства
ортогональности классической тригонометрической системы
cos kϕ, k > 0, sin kϕ, k > 1, k ∈ Z на интервале (0,2π):
R
2π
0
cos m
1
ϕ cos m
2
ϕ dϕ = 0 при m
1
6= m
2
. Совершенно анало-
гично рассматриваются другие возможности для случая m
1
6=
6= m
2
. Итак, 1
◦
установлено.
Отметим, что из этого свойства вытекает непосредственно
свойство ортогональности систем многочленов Лежандра и
присоединённых функций Лежандра на интервале (−1,1).
Лемма 8. При каждом фиксированном m > 0, m ∈ Z,
Z
1
−1
P
m
l
1
(t)P
m
l
2
(t) dt = 0 для l
1
,l
2
> m, l
1
6= l
2
. (63)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обратимся к формуле (62). По-
скольку (Y
m
l
1
,Y
m
l
2
)
S
1
= 0, а
R
2π
0
cos
2
mϕ dϕ = {2π при m =
= 0, π при m > 0} 6= 0, получаем (63).
Справедливость утверждения 2
◦
леммы 7 непосредственно
вытекает из формулы (62) и её аналога при m
1
= m
2
< 0 и
нижеследующего утверждения.
37
    Пусть далее l1 = l2 , но m1 6= m2 . Рассмотрим слу-
чай m1 ,m2 > 0. Выполняя замену t = cos θ, получаем для
m1 ,m2 > 0
                Z 2π
   m1   m2
(Yl1 ,Yl2 )S1 =      cos m1 ϕ cos m2 ϕ dϕ×
                  0
                               Z π
                             ×     Plm
                                     1
                                       1
                                         (cos θ)Plm2
                                                     2
                                                       (cos θ) sin θ dθ =
                                 0
           Z 2π                      Z 1
         =      cos m1 ϕ cos m2 ϕ dϕ      Plm
                                            1
                                              1
                                                (t)Plm2
                                                        2
                                                          (t) dt.     (62)
              0                          −1

Поэтому для m1 ,m2 > 0, m1 6= m2 (Ylm        1
                                               1
                                                 ,Ylm
                                                    2
                                                      2
                                                        )S1 = 0 в
силу известного из курса математического анализа свойства
ортогональности классической тригонометрической системы
 R 2πkϕ, k > 0, sin kϕ, k > 1, k ∈ Z на интервале (0,2π):
cos
  0 cos m1 ϕ cos m2 ϕ dϕ = 0 при m1 6= m2 . Совершенно анало-
 гично рассматриваются другие возможности для случая m1 6=
6= m2 . Итак, 1◦ установлено.
     Отметим, что из этого свойства вытекает непосредственно
свойство ортогональности систем многочленов Лежандра и
присоединённых функций Лежандра на интервале (−1,1).
    Лемма 8. При каждом фиксированном m > 0, m ∈ Z,
     Z 1
         Plm
           1
             (t)Plm
                  2
                    (t) dt = 0 для l1 ,l2 > m, l1 6= l2 . (63)
      −1


   Д о к а з а т е л ь с т в о. Обратимся
                                 R 2π        к формуле (62). По-
скольку (Ylm1
              ,Y m)
                l2 S 1  =   0, а  0   cos 2 mϕ dϕ = {2π при m =

= 0, π при m > 0} =  6 0, получаем (63).
   Справедливость утверждения 2◦ леммы 7 непосредственно
вытекает из формулы (62) и её аналога при m1 = m2 < 0 и
нижеследующего утверждения.


                                                                       37

Страницы