Сферические функции. Пальцев Б.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

отделением действительных и мнимых частей):
b
Y
m
l
(θ,ϕ) =
P
m
l
(cos θ) cos mϕ, m = 0, . . . ,l,
P
|m|
l
(cos θ) sin |m|ϕ, m = −1, − 2, . . . , − l.
(59)
Установим, что эта система при каждом l > 0 является ли-
нейно независимой системой (2l+1) сферических функций веса
l. Это вытекает из свойства ортогональности системы (59) от-
носительно скалярного произведения (16).
§ 5. Ортогональность сферических функций
и функций Лежандра. Производящая функция
и рекуррентное соотношение. Базисность
Итак, обозначим через
Y
m
l
(x), x ∈ S
1
, l = 0,1,2, . . . , − l 6 m 6 l, (60)
систему всех сферических функций, каждая из которых —
Y
m
l
(x) имеет в сферической системе выражение (59).
Лемма 7. 1
◦
. Система (60) сферических функций является
ортогональной системой относительно скалярного произведе-
ния (16).
2
◦
. Имеют место равенства
(Y
m
l
(x),Y
m
l
(x))
S
1
=
4π
2l + 1
при m = 0,
(l + |m|)!
(l − |m|)!
2π
2l + 1
при 1 6 |m| 6 l.
(61)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала 1
◦
, а именно,
что (Y
m
1
l
1
,Y
m
2
l
2
)
S
1
= 0 для любых пар (l
1
,m
1
) и (l
2
,m
2
) таких,
что либо l
1
6= l
2
, либо m
1
6= m
2
. Если l
1
6= l
2
, то поскольку
Y
m
1
l
1
(x) и Y
m
2
l
2
(x) — собственные функции оператора −∆
0
S
1
, от-
вечающие различным собственным значениям λ
1
= l
1
(l
1
+ 1) и
λ
2
= l
2
(l
2
+ 1), в силу леммы 2 (Y
m
1
l
1
,Y
m
2
l
2
)
S
1
= 0.
36
отделением действительных и мнимых частей):
                m
                Pl (cos θ) cos mϕ,   m = 0, . . . ,l,
  Yblm (θ,ϕ) =    |m|                                          (59)
                Pl (cos θ) sin |m|ϕ, m = −1, − 2, . . . , − l.
Установим, что эта система при каждом l > 0 является ли-
нейно независимой системой (2l +1) сферических функций веса
l. Это вытекает из свойства ортогональности системы (59) от-
носительно скалярного произведения (16).

      § 5. Ортогональность сферических функций
     и функций Лежандра. Производящая функция
       и рекуррентное соотношение. Базисность
     Итак, обозначим через
         Ylm (x),   x ∈ S1 ,   l = 0,1,2, . . . ,   − l 6 m 6 l,   (60)
систему всех сферических функций, каждая из которых —
Ylm (x) имеет в сферической системе выражение (59).
   Лемма 7. 1◦ . Система (60) сферических функций является
ортогональной системой относительно скалярного произведе-
ния (16).
   2◦ . Имеют место равенства
                       4π
                      
                        2l + 1
                                          при m = 0,
 (Ylm (x),Ylm (x))S1 = (l + |m|)! 2π                       (61)
                      
                        (l − |m|)! 2l + 1
                                          при 1 6 |m| 6 l.

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала 1◦ , а именно,
что (Ylm 1
           1
             ,Ylm
                2
                   2
                     )S1 = 0 для любых пар (l1 ,m1 ) и (l2 ,m2 ) таких,
что либо l1 6= l2 , либо m1 6= m2 . Если l1 6= l2 , то поскольку
Ylm
  1
    1
      (x) и Ylm2
                  2
                    (x) — собственные функции оператора −∆0S1 , от-
вечающие различным собственным значениям λ1 = l1 (l1 + 1) и
λ2 = l2 (l2 + 1), в силу леммы 2 (Ylm  1
                                         1
                                           ,Ylm
                                              2
                                                2
                                                  )S1 = 0.


36

Страницы