Сферические функции. Пальцев Б.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пользуясь далее пунктом 1
◦
леммы 6, находим, что реше-
нием уравнения (53), причём с точностью до постоянного мно-
жителя единственным ограниченным на [−1,1] решением при
|m| > 0 является многочлен
d
|m|
dt
|m|
P
l
(t).
Отметим, что при |m| > l этот многочлен будет равен тожде-
ственно нулю.
Обратимся теперь к замене (52), и мы получаем, что един-
ственным, с точностью до постоянного множителя, нетриви-
альным ограниченным на (−1,1) решением уравнения Лежан-
дра (43) является функция
P
|m|
l
(t) = (1 − t
2
)
|m|
2
d
|m|
dt
|m|
P
l
(t), (57)
где P
l
(t) — многочлен Лежандра степени l. При этом такие не-
тривиальные решения уравнения (43) существуют только для
m, удовлетворяющих условию |m| 6 l. При |m| > 0 функ-
ции (57) называются присоединнными функциями Лежандра.
При m = 0 P
0
l
(t) — многочлены Лежандра.
Обратимся, наконец, к формулам (40) и (42). И мы в ре-
зультате находим, что при каждом l > 0 — целом система
функций
by
m
l
(θ,ϕ) = P
|m|
l
(cos θ)e
imϕ
, − l 6 m 6 l, (58)
представляет собой систему (2l + 1) сферических функций
веса l. Таким образом, если мы ещё установим, что такая си-
стема линейно независимая, то задача будет решена: тогда мы
нашли всю систему сферических функций веса l для каждого
l > 0 (точнее — их выражений в с ферической системе).
Обычно вместо системы (58) используют систему действи-
тельных сферических функций (получаемую из системы (58)
35
   Пользуясь далее пунктом 1◦ леммы 6, находим, что реше-
нием уравнения (53), причём с точностью до постоянного мно-
жителя единственным ограниченным на [−1,1] решением при
|m| > 0 является многочлен
                          d|m|
                               Pl (t).
                         dt|m|
Отметим, что при |m| > l этот многочлен будет равен тожде-
ственно нулю.
   Обратимся теперь к замене (52), и мы получаем, что един-
ственным, с точностью до постоянного множителя, нетриви-
альным ограниченным на (−1,1) решением уравнения Лежан-
дра (43) является функция
                  |m|              d|m|   |m|
                Pl      (t) = (1 − t2 )  Pl (t),
                                           2             (57)
                                   dt|m|
где Pl (t) — многочлен Лежандра степени l. При этом такие не-
тривиальные решения уравнения (43) существуют только для
m, удовлетворяющих условию |m| 6 l. При |m| > 0 функ-
ции (57) называются присоединнными функциями Лежандра.
При m = 0 Pl0 (t) — многочлены Лежандра.
   Обратимся, наконец, к формулам (40) и (42). И мы в ре-
зультате находим, что при каждом l > 0 — целом система
функций
                           |m|
          yblm (θ,ϕ) = Pl        (cos θ)eimϕ ,   − l 6 m 6 l,   (58)
представляет собой систему (2l + 1) сферических функций
веса l. Таким образом, если мы ещё установим, что такая си-
стема линейно независимая, то задача будет решена: тогда мы
нашли всю систему сферических функций веса l для каждого
l > 0 (точнее — их выражений в сферической системе).
    Обычно вместо системы (58) используют систему действи-
тельных сферических функций (получаемую из системы (58)


                                                                 35

Страницы