Сферические функции. Пальцев Б.В. - 33 стр.

обязана принадлежать пространству C ∞ ([−1, + 1]). В самом
                                                             |m|
деле, в окрестностях точек t = ±1 Q(t) = (1 ± t)− 2 Q± (t)
бесконечно дифференцируемая, поскольку таковыми являются
                                              |m|
в этих окрестностях функции Q± (t) и (1 ± t)− 2 . Во внутрен-
них же точках интервала (−1,1) : Q(t) ∈ C ∞ ((−1,1)) поскольку
                 |m|
P (t) и (1 − t2 )− 2 принадлежат C ∞ ((−1,1)).
    Таким образом, мы приходим в итоге к заключению, что
ограниченное на [−1, + 1] решение P (t) уравнения Лежандра
(43) следует искать в виде
                                           |m|
                       P (t) = (1 − t2 )    2    Q(t),             (52)
где Q(t) ∈ C ∞ ([−1, + 1]).
   Выполняя замену (52) в уравнении (43), приходим к следу-
ющему уравнению для функции Q(t):
 (1 − t2 )Q00 − 2(|m| + 1)tQ0 + [l(l + 1) − |m|(|m| + 1)]Q = 0. (53)
Требуется найти нетривиальное решение Q(t) этого уравне-
ния, принадлежащее C ∞ ([−1,1]). Установим, что такими ре-
шениями будут некоторые многочлены, и найдём их.
   Для этого рассмотрим несколько более общее семейство
уравнений, включающее уравнения (53), зависящее от действи-
тельного параметра n:
    (1 − t2 )S 00 − 2(n + 1)tS 0 + [l(l + 1) − n(n + 1)]S = 0.     (54)
При n = |m| уравнение (54) совпадает с уравнением (53). По-
следнее семейство уравнений обладает следующими важными
для нас свойствами.
   Лемма 6. 1◦ . Если S(t) — решение уравнения (54), то S 0 (t)
является решением уравнения вида (54) с n, заменённым на
(n + 1).


                                                                    33