Сферические функции. Пальцев Б.В. - 32 стр.

Решение последнего уравнения ищем в виде P̃ = (t−1)ν . И, как
и выше для ν, получаем квадратное уравнение для ν:
                               m2         m2
              ν(ν − 1) + ν −      = ν2 −        = 0.
                               4           4
   Это уравнение имеет два корня ν1 и ν2 , Re ν1 > Re ν2 :
                        |m|              |m|
                  ν1 =       ,    ν2 = −      .
                          2               2
При этом, как это следует из сказанного выше, тогда всякое
ограниченное в окрестности точки t = 1 решение уравнения
(49) имеет вид                     |m|
                    P (t) = (1 − t) 2 Q+ (t),              (51)
где функция Q+ (t) аналитическая, а потому и бесконечно диф-
ференцируемая функция в окрестности точки t = 1. Действи-
тельно, одно нетривиальное решение уравнения (49) согласно
этой формуле имеет (51), а другое решение, линейно независи-
                                            2         |m|
мое с этим имеет поведение P2 (t) = γ 0 (1 − t)−       2    при m 6= 0 и
        2
P2 (t) = γ 0 ln(1 − t) при m = 0, а потому это второе решение
неограничено в окрестности точки t = 1.
    Нетрудно видеть, что уравнение (49) таким же образом
устроено и в окрестности точки t = −1, причём значения ν1
и ν2 для этой точки оказываются в точности теми же, что и
выше. Следовательно, всякое решение уравнения (49), ограни-
ченное в окрестности точки t = −1, необходимо имеет вид
                                      |m|
                    P (t) = (1 + t)    2    Q− (t),
где Q− (t) — бесконечно дифференцируемая функция в некото-
рой окрестности точки t = −1.
   Отсюда уже следует, что если P (t) — решение уравнения
Лежандра (44), отвечающее сферической функции вида (40),
то функция                           |m|
                    Q(t) = (1 − t2 )− 2 P (t)


32