Сферические функции. Пальцев Б.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Решения последнего уравнения, как известно, следует ис-
кать в виде ˜y = (t − c)
ν
. Подставляя такую функцию в урав-
нение (46) и сокращая на (t − c)
ν
, приходим к следующему
характеристическому уравнению для определения показателя
ν:
ν(ν − 1) + a
0
ν + b
0
= 0. (47)
Это квадратное уравнение имеет два корня ν
1
и ν
2
. Зану-
меруем их так, чтобы Re ν
1
> Re ν
2
. Оказывается, что так же,
как и для уравнения Бесселя (для которого точка 0 является
правильной особой точкой), для корня ν
1
можно всегда найти
решение уравнения (45) вида
y
1
(t) = (t − c)
ν
1
"
1
γ
0
+
∞
X
k=1
1
γ
k
(t − c)
k
#
,
1
γ
0
6= 0. (48)
При э том
1
γ
0
можно взять произвольным, коэффициенты
1
γ
k
,
k > 1, определяются тогда уже однозначно, и степенной ряд
в представлении y
1
(t) сходится в некоторой достаточно малой
окрестности точки c.
Что касается решения y
2
(t), отвечающего второму корню
ν
2
характеристического уравнения (47), то тут ситуация не-
сколько более сложная. Если ν
1
− ν
2
6= целому, то существует
и второе решение y
2
(t) уравнения вида (48), но с ν
1
и
1
γ
k
заме-
нёнными, соответственно, на ν
2
и
2
γ
k
, и потому в этом случае
y
2
(t) ∼
2
γ
0
(t − c)
ν
2
в окрестности точки c. Если же ν
1
− ν
2
=
= целому 6= 0, то оказывается также существует решение y
2
(t)
уравнения (45), которое имеет поведение y
2
(t) ∼
2
γ
0
(t −c)
ν
2
при
t → c. В случае же, когда ν
1
= ν
2
, второе решение уравнения
(45) линейно независимое с y
1
(t), имеет уже в малой окрестно-
сти точки c такое поведение: y
2
(t) ∼
2
γ
0
(t − c)
ν
1
ln(t − c).
Обратимся к уравнению Лежандра в форме (44). У этого
30
   Решения последнего уравнения, как известно, следует ис-
кать в виде ỹ = (t − c)ν . Подставляя такую функцию в урав-
нение (46) и сокращая на (t − c)ν , приходим к следующему
характеристическому уравнению для определения показателя
ν:
                      ν(ν − 1) + a0 ν + b0 = 0.               (47)
   Это квадратное уравнение имеет два корня ν1 и ν2 . Зану-
меруем их так, чтобы Re ν1 > Re ν2 . Оказывается, что так же,
как и для уравнения Бесселя (для которого точка 0 является
правильной особой точкой), для корня ν1 можно всегда найти
решение уравнения (45) вида
                                 ∞
                          "                      #
                            1    X   1              1
        y1 (t) = (t − c)ν1 γ 0 +     γ k (t − c)k , γ 0 6= 0. (48)
                               k=1
           1                                                   1
При этом γ 0 можно взять произвольным, коэффициенты γ k ,
k > 1, определяются тогда уже однозначно, и степенной ряд
в представлении y1 (t) сходится в некоторой достаточно малой
окрестности точки c.
   Что касается решения y2 (t), отвечающего второму корню
ν2 характеристического уравнения (47), то тут ситуация не-
сколько более сложная. Если ν1 − ν2 6= целому, то существует
                                                       1
и второе решение y2 (t) уравнения вида (48), но с ν1 и γ k заме-
                                     2
нёнными, соответственно, на ν2 и γ k , и потому в этом случае
         2
y2 (t) ∼ γ 0 (t − c)ν2 в окрестности точки c. Если же ν1 − ν2 =
= целому 6= 0, то оказывается также существует решение y2 (t)
                                                   2
уравнения (45), которое имеет поведение y2 (t) ∼ γ 0 (t − c)ν2 при
t → c. В случае же, когда ν1 = ν2 , второе решение уравнения
(45) линейно независимое с y1 (t), имеет уже в малой окрестно-
                                         2
сти точки c такое поведение: y2 (t) ∼ γ 0 (t − c)ν1 ln(t − c).
   Обратимся к уравнению Лежандра в форме (44). У этого


30

Страницы