Сферические функции. Пальцев Б.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

уравнения две особые точки t = +1 и t = −1, поскольку коэф-
фициент при P
00
обращается в нуль только в этих точках. Эти
особые точки являются правильными. Проверим это, напри-
мер, для точки t = 1.
Разделим уравнение (44) на функцию (t + 1)
2
, которая не
обращается в нуль в окрестности исследуемой точки t = 1.
Уравнение приобретает вид
(t −1)
2
P
00
+ (t −1)
2t
t + 1
P
0
−
m
2
(t + 1)
2
+ l(l + 1)
t − 1
t + 1
P (t) = 0,
(49)
т.е. становится вида (44) с c = 1 и с
a(t) =
2t
t + 1
, b(t) = −
m
2
(t + 1)
2
+ l(l + 1)
t − 1
t + 1
.
Нетрудно видеть, что a(t) и b(t) — регулярные функции пере-
менной t (рассматриваемой уже как комплексная переменная) в
круге |t −1| < 2. Поэтому эти функции допускают разложения
в этом круге в ряды Тейлора
a(t) = a(1) +
∞
X
k=1
a
(k)
(1)
k!
(t − 1)
k
= 1 +
∞
X
k=1
a
k
(t − 1)
k
,
b(t) = b(1) +
∞
X
k=1
b
(k)
(1)
k!
(t − 1)
k
= −
m
2
4
+
∞
X
k=1
b
k
(t − 1)
k
,
и, следовательно, и для действительных t в окрестности |t −
− 1| < 2. Итак, точка t = 1 является правильной.
Поэтому согласно сформулированной выше теории уравне-
ние (49) при t, близких к 1, становится похожим на уравнение
эйлеровского типа
(t − 1)
2
˜
P
00
+ (t − 1)
˜
P
0
−
m
2
4
˜
P = 0. (50)
31
уравнения две особые точки t = +1 и t = −1, поскольку коэф-
фициент при P 00 обращается в нуль только в этих точках. Эти
особые точки являются правильными. Проверим это, напри-
мер, для точки t = 1.
    Разделим уравнение (44) на функцию (t + 1)2 , которая не
обращается в нуль в окрестности исследуемой точки t = 1.
Уравнение приобретает вид
                                   m2
                                                        
       2 00          2t    0                        t−1
(t − 1) P + (t − 1)      P −             + l(l + 1)        P (t) = 0,
                    t+1         (t + 1)2            t+1
                                                                 (49)
т.е. становится вида (44) с c = 1 и с
                                      m2
                                                           
              2t                                        t−1
      a(t) =      ,     b(t) = −            +  l(l + 1)       .
             t+1                   (t + 1)2             t+1
Нетрудно видеть, что a(t) и b(t) — регулярные функции пере-
менной t (рассматриваемой уже как комплексная переменная) в
круге |t − 1| < 2. Поэтому эти функции допускают разложения
в этом круге в ряды Тейлора
                    ∞                                 ∞
                    X a(k) (1)                        X
    a(t) = a(1) +                (t − 1)k = 1 +           ak (t − 1)k ,
                           k!
                    k=1                            k=1
                    ∞ (k)                         2    ∞
                    X b (1)                      m     X
    b(t) = b(1) +               (t − 1)k = −          +         bk (t − 1)k ,
                          k!                      4
                    k=1                                   k=1

и, следовательно, и для действительных t в окрестности |t −
− 1| < 2. Итак, точка t = 1 является правильной.
    Поэтому согласно сформулированной выше теории уравне-
ние (49) при t, близких к 1, становится похожим на уравнение
эйлеровского типа
                                                 m2
                (t − 1)2 P̃ 00 + (t − 1)P̃ 0 −      P̃ = 0.                     (50)
                                                 4

                                                                                 31

Страницы