Сферические функции. Пальцев Б.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

которая преобразует уравнение (41) к уравнению
d
dt
(1 − t
2
)
dP
dt
−
m
2
1 − t
2
− l(l + 1)
P (t) = 0, − 1 < t < 1,
(43)
причём P (t) ∈ C
∞
((−1,1)) и ограниченная на (−1,1) функция,
P (t) 6≡ 0. Уравнение (43) называется уравнением Лежандра.
Итак, перейдём к нахождению таких решений уравнения
(43). Умножив это уравнение на (1 − t
2
), преобразуем его к
форме
(t
2
− 1)
2
P
00
+ 2t(t
2
− 1)P
0
− [m
2
+ l(l + 1)(t
2
− 1)]P = 0. (44)
Существует аналитическая теория обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, в которой имеется раздел, посвящён-
ный аналитической теории линейных уравнений с правиль-
ными особыми точками, см., например, книги [4] или [5] из
списка литературы, приведённого в конце данного пособия. По
этой теории, если в окрестности некоторой точки c линейное
дифференциальное уравнение может быть приведено к виду
(t − c)
2
y
00
+ (t − c)a(t)y
0
+ b(t)y = 0, (45)
где a(t) и b(t) — некоторые функции t, аналитические в неко-
торой окрестности точки c : |t − c| < δ, т.е. функции, которые
представимы в этой окрестности степенными рядами
a(t) = a
0
+ a
1
(t − c) + . . . + a
k
(t − c)
k
+ . . . ,
b(t) = b
0
+ b
1
(t − c) + . . . + b
k
(t − c)
k
+ . . . ,
то точку c называют правильной особой точкой уравнения (44).
В этом случае уравнение (45) (поскольку a(t) ∼ a
0
, b(t) ∼ b
0
при (t − c) малых) похоже в малой окрестности точки c на
уравнение Эйлера
(t − c)
2
˜y
00
+ a
0
(t − c)˜y
0
+ b
0
˜y = 0. (46)
29
которая преобразует уравнение (41) к уравнению
                        m2
                                     
 d           2 dP
       (1 − t )     −         − l(l + 1) P (t) = 0, − 1 < t < 1,
 dt             dt     1 − t2
                                                            (43)
причём P (t) ∈ C ∞ ((−1,1)) и ограниченная на (−1,1) функция,
P (t) 6≡ 0. Уравнение (43) называется уравнением Лежандра.
    Итак, перейдём к нахождению таких решений уравнения
(43). Умножив это уравнение на (1 − t2 ), преобразуем его к
форме
 (t2 − 1)2 P 00 + 2t(t2 − 1)P 0 − [m2 + l(l + 1)(t2 − 1)]P = 0. (44)
   Существует аналитическая теория обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, в которой имеется раздел, посвящён-
ный аналитической теории линейных уравнений с правиль-
ными особыми точками, см., например, книги [4] или [5] из
списка литературы, приведённого в конце данного пособия. По
этой теории, если в окрестности некоторой точки c линейное
дифференциальное уравнение может быть приведено к виду
              (t − c)2 y 00 + (t − c)a(t)y 0 + b(t)y = 0,          (45)
где a(t) и b(t) — некоторые функции t, аналитические в неко-
торой окрестности точки c : |t − c| < δ, т.е. функции, которые
представимы в этой окрестности степенными рядами
          a(t) = a0 + a1 (t − c) + . . . + ak (t − c)k + . . . ,
          b(t) = b0 + b1 (t − c) + . . . + bk (t − c)k + . . . ,
то точку c называют правильной особой точкой уравнения (44).
В этом случае уравнение (45) (поскольку a(t) ∼ a0 , b(t) ∼ b0
при (t − c) малых) похоже в малой окрестности точки c на
уравнение Эйлера
                (t − c)2 ỹ 00 + a0 (t − c)ỹ 0 + b0 ỹ = 0.       (46)


                                                                    29

Страницы