Сферические функции. Пальцев Б.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

e
1
, . . . ,e
m
, что Ae
k
= f
k
, k = 1, . . . ,m. Нетрудно видеть, что си-
стема векторов e
1
, . . . ,e
m
также линейно независимая система.
Дополним систему e
1
, . . . ,e
m
элементами e
m+1
, . . . ,e
n
из E
до базиса в E. Матрица A отображения A в базисах e
1
, . . . ,e
n
в пространстве E и f
1
, . . . ,f
m
в пространстве F имеет вид A =
= kE, ∗ k, где E — единичная матрица размеров m × m, ∗ —
некоторая матрица размеров m×(n−m). Нуль-пространство N
оператора A состоит из тех и только тех векторов x ∈ E, коор-
динатные столбцы которых ξ = (ξ
1
, . . . ,ξ
n
)
T
в базисе e
1
, . . . ,e
n
удовлетворяют системе Aξ = 0, где 0 = (0, . . . ,0
| {z }
m раз
)
T
. Поскольку
ранг матрицы A равен m (т.к. det E = 1), то размерность про-
странства решений системы Aξ = 0, а вместе с ней и размер-
ность нуль-пространства N равны (n −m). Лемма 4 доказана.
Итак, применим эту лемму к нахождению размерности
пространства H
l
однородных гармонических многочленов сте-
пени l. Оператор Лапласа ∆ представляет собой линейное ото-
бражение пространства P
l
на всё пространство P
l−2
, а H
l
явля-
ется нуль-пространством такого оператора. Поэтому в силу
леммы 4 и (35) размерность dim H
l
пространства H
l
равна
dim H
l
= dim P
l
− dim P
l−2
=
(l + 1)(l + 2)
2
−
(l − 1)l
2
= 2l + 1.
Итак, установлено следующее утверждение.
Лемма 5. Максимальное число линейно независимых сфе-
рических функций веса l равно в точности (2l + 1). Всякое
число λ = l(l + 1), где l > 0 — целое, является СЗ оператора −
−∆
0
S
1
.
Таким образом, в принципе мы уже получили описание СЗ
и СФ опе ратора Лапласа–Бельтрами. Перейдём теперь к по-
27
e1 , . . . ,em , что Aek = fk , k = 1, . . . ,m. Нетрудно видеть, что си-
стема векторов e1 , . . . ,em также линейно независимая система.
      Дополним систему e1 , . . . ,em элементами em+1 , . . . ,en из E
до базиса в E. Матрица A отображения A в базисах e1 , . . . ,en
в пространстве E и f1 , . . . ,fm в пространстве F имеет вид A =
= kE, ∗ k, где E — единичная матрица размеров m × m, ∗ —
некоторая матрица размеров m×(n−m). Нуль-пространство N
оператора A состоит из тех и только тех векторов x ∈ E, коор-
динатные столбцы которых ξ = (ξ1 , . . . ,ξn )T в базисе e1 , . . . ,en
удовлетворяют системе Aξ = 0, где 0 = (0, . . . ,0)T . Поскольку
                                                    | {z }
                                                 m раз
ранг матрицы A равен m (т.к. det E = 1), то размерность про-
странства решений системы Aξ = 0, а вместе с ней и размер-
ность нуль-пространства N равны (n − m). Лемма 4 доказана.
   Итак, применим эту лемму к нахождению размерности
пространства Hl однородных гармонических многочленов сте-
пени l. Оператор Лапласа ∆ представляет собой линейное ото-
бражение пространства Pl на всё пространство Pl−2 , а Hl явля-
ется нуль-пространством такого оператора. Поэтому в силу
леммы 4 и (35) размерность dim Hl пространства Hl равна
                                   (l + 1)(l + 2) (l − 1)l
dim Hl = dim Pl − dim Pl−2 =                     −         = 2l + 1.
                                         2           2
Итак, установлено следующее утверждение.

   Лемма 5. Максимальное число линейно независимых сфе-
рических функций веса l равно в точности (2l + 1). Всякое
число λ = l(l + 1), где l > 0 — целое, является СЗ оператора −
−∆0S1 .

   Таким образом, в принципе мы уже получили описание СЗ
и СФ оператора Лапласа–Бельтрами. Перейдём теперь к по-


                                                                      27

Страницы