Сферические функции. Пальцев Б.В. - 26 стр.

ременной x2 степени (m + 1):
                 ∆p1 (x1 ,x2 ) − q(x1 ,x2 ) = ϕ(x2 ).         (38)
   В силу установленного в пункте 2◦ для ϕ(x2 ) найдётся та-
кой однородный многочлен p2 (x2 ) только переменной x2 сте-
пени (m + 3), что ∆p2 (x2 ) = ϕ(x2 ). Используя это в (38),
находим в результате, что однородный многочлен p(x1 ,x2 ) =
= p1 (x1 ,x2 ) − p2 (x2 ) удовлетворяет (36). Действительно,
          ∆p(x1 ,x2 ) = ∆p1 (x1 ,x2 ) − ∆p2 (x2 ) =
                     = ∆p1 (x1 ,x2 ) − ϕ(x2 ) = q(x1 ,x2 ).
Итак, утверждение пункта 3◦ доказано.
   4◦ . Общий случай, когда q(x) — многочлен 3-х переменных
устанавливается точно так же индукцией по степени много-
члена q(x) с использованием уже доказанного утверждения в
пункте 3◦ для многочленов q(x) только двух переменных. При
этом многочлены r и p1 будут многочленами 3-х переменных,
а многочлены ϕ и p2 — многочленами 2-х переменных x2 и x3 .
Итак, предложение 3 доказано.
   Подсчёт размерности пространства Hl однородных гармо-
нических многочленов степени l произведём с использованием
полученных утверждений и следующей леммы, известной из
курса линейной алгебры, доказательство которой приведём для
полноты изложения.
   Лемма 4. Пусть A — линейное отображение линейного
пространства E размерности n на всё линейное пространство
F размерности m 6 n. Тогда размерность нуль-пространства
(ядра) N отображения A (т.е. подпространства элементов
из E, которые A переводит в 0 ∈ F ) равна n − m.
      Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в F какой-либо базис
f1 , . . . ,fm . Так как AE = F , найдутся такие элементы


26