Сферические функции. Пальцев Б.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ных. Для m = 0 мы уже установили, что это верно. Докажем
справедливость такого утверждения для произвольного одно-
родного многочлена q(x) степени m + 1 и переменных x
1
и x
2
:
q(x) = q(x
1
,x
2
).
Производная
∂
∂x
1
q(x
1
,x
2
) является однородным многочле-
ном 2-х переменных x
1
и x
2
степени m. Поэтому в силу пред-
положения индукции найдётся такой однородный многочлен
r(x
1
,x
2
) степени (m + 2), что
∆r(x
1
,x
2
) =
∂
∂x
1
q(x
1
,x
2
). (37)
Введём для однородных многочленов операцию J
1
интегри-
рования по переменной x
1
: если p(x) =
P
|α|=l
c
α
x
α
1
1
x
α
2
2
x
α
3
3
—
однородный многочлен степени l, то
J
1
p(x) =
X
|α|=l
c
α
(α
1
+ 1)
x
α
1
+1
1
x
α
2
2
x
α
3
3
— однородный многочлен степени (l + 1). Очевидно,
∂
∂x
1
J
1
p(x) ≡ p(x)
для любого однородного многочлена p(x).
Образуем далее многочлен p
1
(x
1
,x
2
) = J
1
r(x
1
,x
2
) — одно-
родный, степени (m + 3). Он зависит только от x
1
иx
2
. Тогда
в силу (37)
∂
∂x
1
(∆p
1
(x
1
,x
2
)−q(x
1
,x
2
)) = ∆
∂
∂x
1
J
1
r(x
1
,x
2
)−
∂
∂x
1
q(x
1
,x
2
) =
= ∆r(x
1
,x
2
) −
∂
∂x
1
q(x
1
,x
2
) ≡ 0.
Поэтому однородный многочлен (∆p
1
(x
1
,x
2
) − q(x
1
,x
2
)) на са-
мом деле является однородным многочленом только одной пе-
25
ных. Для m = 0 мы уже установили, что это верно. Докажем
справедливость такого утверждения для произвольного одно-
родного многочлена q(x) степени m + 1 и переменных x1 и x2 :
q(x) = q(x1 ,x2 ).
                    ∂
   Производная ∂x q(x1 ,x2 ) является однородным многочле-
                     1
ном 2-х переменных x1 и x2 степени m. Поэтому в силу пред-
положения индукции найдётся такой однородный многочлен
r(x1 ,x2 ) степени (m + 2), что
                                      ∂
                     ∆r(x1 ,x2 ) =       q(x1 ,x2 ).               (37)
                                     ∂x1
   Введём для однородных многочленов операцию         J1 интегри-
                                        P             α1 α2 α3
рования по переменной x1 : если p(x) = |α|=l cα x1 x2 x3 —
однородный многочлен степени l, то
                       X      cα
             J1 p(x) =             xα1 +1 xα2 2 xα3 3
                           (α1 + 1) 1
                          |α|=l

— однородный многочлен степени (l + 1). Очевидно,
                           ∂
                              J1 p(x) ≡ p(x)
                          ∂x1
для любого однородного многочлена p(x).
   Образуем далее многочлен p1 (x1 ,x2 ) = J1 r(x1 ,x2 ) — одно-
родный, степени (m + 3). Он зависит только от x1 иx2 . Тогда
в силу (37)
  ∂                                  ∂                  ∂
     (∆p1 (x1 ,x2 )−q(x1 ,x2 )) = ∆     J1 r(x1 ,x2 )−     q(x1 ,x2 ) =
 ∂x1                                ∂x1                ∂x1
                                                  ∂
                                = ∆r(x1 ,x2 ) −      q(x1 ,x2 ) ≡ 0.
                                                 ∂x1
Поэтому однородный многочлен (∆p1 (x1 ,x2 ) − q(x1 ,x2 )) на са-
мом деле является однородным многочленом только одной пе-


                                                                     25

Страницы