Сферические функции. Пальцев Б.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

совпадает с максимальным числом линейно независимых
однородных гармонических многочленов степени l. Займёмся
подсчётом последнего числа.
Заметим, что множество P
l
всех однородных многочленов
степени l, т.е. многочленов вида
p(x) =
X
|α|=l
c
α
x
α
, x
α
= x
α
1
1
x
α
2
2
x
α
3
3
,
α = (α
1
,α
2
,α
3
), |α| = α
1
+ α
2
+ α
3
,
(34)
образует линейное пространство. Множество H
l
всех однород-
ных многочленов p(x) степени l, удовлетворяющих уравнению
∆p(x) = 0, в силу линейности оператора Лапласа, предста-
вляет собой линейное подпространство пространства P
l
. H
l
является нуль-пространс твом оператора Лапласа, рассматри-
ваемого на пространстве P
l
.
|
{z
}
(
l
+1)
α
1
α
2
α
3
T
l
l
l
Рис. 4
Подсчитаем сначала размер-
ность dim P
l
пространства P
l
.
Так как в силу (34) всякий мно-
гочлен из P
l
является линейной
комбинацией одночленов
x
α
= x
α
1
1
x
α
2
2
x
α
3
3
,
α
1
,α
2
,α
3
> 0,
α
1
+ α
2
+ α
3
= l,
а совокупность этих одночле нов
линейно независима, то размер-
ность P
l
равна числу различных
таких одночленов, т.е. числу всевозможных точек (α
1
,α
2
,α
3
) в
R
3
с целочисленными координатами α
1
,α
2
,α
3
> 0, лежащими
на плоскости α
1
+ α
2
+ α
3
= l, а точнее в замкнутом треуголь-
23
совпадает с максимальным числом линейно независимых
однородных гармонических многочленов степени l. Займёмся
подсчётом последнего числа.
   Заметим, что множество Pl всех однородных многочленов
степени l, т.е. многочленов вида
                       X
               p(x) =       cα xα , xα = xα1 1 xα2 2 xα3 3 ,
                      |α|=l                                  (34)
              α = (α1 ,α2 ,α3 ), |α| = α1 + α2 + α3 ,
образует линейное пространство. Множество Hl всех однород-
ных многочленов p(x) степени l, удовлетворяющих уравнению
∆p(x) = 0, в силу линейности оператора Лапласа, предста-
вляет собой линейное подпространство пространства Pl . Hl
является нуль-пространством оператора Лапласа, рассматри-
ваемого на пространстве Pl .
       α3
                                   Подсчитаем сначала размер-
            l
                                ность dim Pl пространства Pl .
                                Так как в силу (34) всякий мно-
                                гочлен из Pl является линейной
                                комбинацией одночленов
                T
                          l             xα = xα1 1 xα2 2 xα3 3 ,
 l                       } α2
                    {z                    α1 ,α2 ,α3 > 0,
α1 |            (l+1)
                                       α1 + α2 + α3 = l,
                Рис. 4        а совокупность этих одночленов
                              линейно независима, то размер-
                              ность Pl равна числу различных
таких одночленов, т.е. числу всевозможных точек (α1 ,α2 ,α3 ) в
R3 с целочисленными координатами α1 ,α2 ,α3 > 0, лежащими
на плоскости α1 + α2 + α3 = l, а точнее в замкнутом треуголь-


                                                                   23

Страницы