Сферические функции. Пальцев Б.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∆V (x) = 0 получаем, что для функции (32)
−∆
0
S
1
y(x) = l(l + 1)y(x), x ∈ S
1
, (33)
причём y(x) 6≡ 0 на S
1
(в противном случае в силу (24) V (x) ≡
≡ 0). Таким образом y(x) является собственной функцией опе-
ратора −∆
0
S
1
, отвечающей собственному значению λ = l(l + 1).
Лемма 3 полностью доказана.
СФ оператора −∆
0
S
1
и называют сферическими функциями.
Определение 3. Всякую собственную функцию y(x) опе-
ратора −∆
0
S
1
, отвечающую собственному значению λ = l(l+1),
l > 0 — целое, будем называть сферической функцией веса l.
Обычно сферической функцией называют также и выражение
by(θ,ϕ) функции y(x) в сферической системе.
Лемма 3 по сути дела и даёт описание множества сфериче-
ских функций. А именно, имеем следующее
Следствие 1. Множество всех сферических функций веса l
представляет собой совокупность следов на S
1
всех ненулевых
однородных гармонических многочленов в R
3
степени l.
Определение 4. Пусть y(x) — сферическая функция
веса l. Однородный гармонический многочлен, имеющий в сфе-
рической системе выражение (24), называют шаровой функ-
цией, порождённой y(x).
§ 3. Подсчёт максимального числа линейно
независимых сферических функций веса l
Поскольку формула (24) устанавливает взаимно-
однозначное соответствие между сферическими функциями
веса l и шаровыми функциями степени l, то максимальное
число линейно независимых сферических функций веса l
22
∆V (x) = 0 получаем, что для функции (32)
              −∆0S1 y(x) = l(l + 1)y(x),   x ∈ S1 ,       (33)
причём y(x) 6≡ 0 на S1 (в противном случае в силу (24) V (x) ≡
≡ 0). Таким образом y(x) является собственной функцией опе-
ратора −∆0S1 , отвечающей собственному значению λ = l(l + 1).
Лемма 3 полностью доказана.
   СФ оператора −∆0S1 и называют сферическими функциями.
     Определение 3. Всякую собственную функцию y(x) опе-
ратора −∆0S1 , отвечающую собственному значению λ = l(l+1),
l > 0 — целое, будем называть сферической функцией веса l.
Обычно сферической функцией называют также и выражение
yb(θ,ϕ) функции y(x) в сферической системе.
   Лемма 3 по сути дела и даёт описание множества сфериче-
ских функций. А именно, имеем следующее
   Следствие 1. Множество всех сферических функций веса l
представляет собой совокупность следов на S1 всех ненулевых
однородных гармонических многочленов в R3 степени l.

   Определение 4. Пусть y(x) — сферическая функция
веса l. Однородный гармонический многочлен, имеющий в сфе-
рической системе выражение (24), называют шаровой функ-
цией, порождённой y(x).

     § 3. Подсчёт максимального числа линейно
      независимых сферических функций веса l
   Поскольку формула (24) устанавливает взаимно-
однозначное соответствие между сферическими функциями
веса l и шаровыми функциями степени l, то максимальное
число линейно независимых сферических функций веса l


22

Страницы