Сферические функции. Пальцев Б.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Итак, мы получили, что µ
+
= l, что p = l, что by
k
(θ,ϕ) ≡ 0,
k = 0,1, . . . ,(l − 1) для всех θ и ϕ, а потому и
b
V
k
(ρ,θ,ϕ) ≡ 0 и,
следовательно,
b
V
k
(x) ≡ 0, k = 0,1, . . . ,(l − 1). Таким образом,
V (x) является однородным многочленом степени l, удовлетво-
ряющим уравнению Лапласа.
Воспользуемся теперь уравнением (26), которому удовле-
творяет µ
+
. Выражая СЗ λ через µ
+
, получим
λ = µ
2
+
+ µ
+
= l(l + 1), l > 0 — целое.
1
◦
. Перейдём теперь к доказательству обратного утвержде-
ния леммы 3. Для этого воспользуемся следующим предложе-
нием.
Предложение 2. Пусть V (x) — однородный многочлен
степени l. Тогда
∆V (x)|
S
1
= l(l + 1)y(x) + ∆
0
S
1
y(x), (31)
где
y(x) = V (x)|
S
1
(32)
— функция на S
1
, называемая следом многочлена V (x) на S
1
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично (29) для
b
V (ρ,θ,ϕ) —
выражения V (x) в сферической системе — имеет место пред-
ставление вида (24), где by(θ,ϕ) — выражение y(x) в сфериче-
ской системе. Тогда, используя (11), получаем
d
∆V (ρ,θ,ϕ)|
ρ=1
=
1
ρ
2
d
dρ
ρ
2
d
dρ
ρ
l
by(θ,ϕ) +
ρ
l
ρ
2
b
∆
0
θ,ϕ
by(θ,ϕ)
ρ=1
=
= l(l + 1)by(θ,ϕ) +
b
∆
0
θ,ϕ
by(θ,ϕ).
Отсюда, с использованием определения 2 и (32), получаем (31).
Итак, если V (x) — ненулевой однородный гармонический
многочлен степени l, то в силу (31) и выполнения уравнения
21
    Итак, мы получили, что µ+ = l, что p = l, что ybk (θ,ϕ) ≡ 0,
k = 0,1, . . . ,(l − 1) для всех θ и ϕ, а потому и Vbk (ρ,θ,ϕ) ≡ 0 и,
следовательно, Vbk (x) ≡ 0, k = 0,1, . . . ,(l − 1). Таким образом,
V (x) является однородным многочленом степени l, удовлетво-
ряющим уравнению Лапласа.
    Воспользуемся теперь уравнением (26), которому удовле-
творяет µ+ . Выражая СЗ λ через µ+ , получим
            λ = µ2+ + µ+ = l(l + 1),      l > 0 — целое.
   1◦ . Перейдём теперь к доказательству обратного утвержде-
ния леммы 3. Для этого воспользуемся следующим предложе-
нием.
   Предложение 2. Пусть V (x) — однородный многочлен
степени l. Тогда
               ∆V (x)|S1 = l(l + 1)y(x) + ∆0S1 y(x),            (31)
где
                      y(x) = V (x)|S1                  (32)
— функция на S1 , называемая следом многочлена V (x) на S1 .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично (29) для Vb (ρ,θ,ϕ) —
выражения V (x) в сферической системе — имеет место пред-
ставление вида (24), где yb(θ,ϕ) — выражение y(x) в сфериче-
ской системе. Тогда, используя (11), получаем
                                               ρl b 0
                                                           
                      1 d       2 d l
 ∆V (ρ,θ,ϕ)|ρ=1 = 2
 d                            ρ     ρ yb(θ,ϕ) + 2 ∆θ,ϕ yb(θ,ϕ) =
                      ρ dρ       dρ            ρ
                                                                ρ=1

                 = l(l + 1)b
                           y (θ,ϕ) +   b 0 yb(θ,ϕ).
                                       ∆ θ,ϕ

Отсюда, с использованием определения 2 и (32), получаем (31).
   Итак, если V (x) — ненулевой однородный гармонический
многочлен степени l, то в силу (31) и выполнения уравнения


                                                                  21

Страницы